Ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο με όλες τις τρεις πλευρές ίσου μήκους. Το εμβαδόν επιφάνειας ενός πολυγώνου δύο διαστάσεων, όπως ενός τριγώνου, είναι η συνολική περιοχή που περιέχεται στις πλευρές του πολυγώνου. Οι τρεις γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι επίσης ισομερώς στην ευκλείδεια γεωμετρία. Δεδομένου ότι το συνολικό μέτρο των γωνιών ενός ευκλείδειου τριγώνου είναι 180 μοίρες, αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου έχουν όλα 60 μοίρες. Η περιοχή ενός ισόπλευρου τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί όταν είναι γνωστό το μήκος μιας από τις πλευρές του.
Προσδιορίστε την περιοχή ενός τριγώνου όταν είναι γνωστή η βάση και το ύψος. Πάρτε δύο ταυτόσημα τρίγωνα με βάσεις s και ύψος h. Μπορούμε πάντα να σχηματίσουμε ένα παραλληλόγραμμο βάσης s και ύψους h με αυτά τα δύο τρίγωνα. Δεδομένου ότι η περιοχή ενός παραλληλογράμμου είναι s x h, η περιοχή A ενός τριγώνου είναι συνεπώς ½ s x h.
Σχηματίζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο σε δύο δεξιά τρίγωνα με το τμήμα γραμμής h. Η υποτείνουσα από ένα από αυτά τα δεξιά τρίγωνα μήκους s, ένα από τα πόδια έχει μήκος h και το άλλο σκέλος έχει μήκος s / 2.
Express h σε όρους s. Χρησιμοποιώντας το δεξιό τρίγωνο που σχηματίστηκε στο βήμα 2, γνωρίζουμε ότι s ^ 2 = (s / 2) ^ 2 + h ^ 2 από τον τύπο Pythagorean. Επομένως, h 2 = s ^ 2 - (s / 2) ^ 2 = s ^ 2 - s ^ 2/4 = 3s ^ 2 / / 2.
Αντικαταστήστε την τιμή του h που ελήφθη στο βήμα 3 στον τύπο για μια περιοχή τριγώνων που ελήφθη στο βήμα 1. Αφού A = ½ sxh και h = (3 ^ 1/2) s / 2, έχουμε τώρα A = 1/2 s (3 ^ 1/2) s / 2 = (3 ^ 1/2) (s ^ 2) / 4.
Χρησιμοποιήστε τον τύπο για την περιοχή ενός ισόπλευρου τριγώνου που λαμβάνεται στο βήμα 4 για να βρείτε την περιοχή ενός ισόπλευρου τριγώνου με πλευρές μήκους 2. A = (3 ^ 1/2) (s ^ 2) / 4 = (3 ^ 1/2 ) (2 ^ 2) / 4 = (3 ^ 1/2).