Περιεχόμενο
Το δυαδικό σύστημα αποτελείται από αριθμούς που εκφράζονται από συνδυασμούς των ψηφίων ένα και μηδέν. Το 1937, ο Claude Shannon συνειδητοποίησε ότι οι καταστάσεις on / off των ηλεκτρικών κυκλωμάτων θα μπορούσαν να αντιστοιχούν στις πραγματικές / ψευδές καταστάσεις λογικής. Εισήγαγε την ιδέα ότι η λογική Boolean θα μπορούσε να συνδυαστεί με τη δυαδική αναπαράσταση των αξιών αλήθειας για την ανάπτυξη κυκλωμάτων. Ακόμη και με την ανάπτυξη σύγχρονων υπολογιστών, το δυαδικό σύστημα αποτελεί βασικό κομμάτι του σύγχρονου κυκλώματος. Το δυαδικό σύστημα και τα σχετικά οκτακάθυρα και δεκαεξαδικά συστήματα είναι συνηθισμένα σε πολλούς τομείς που σχετίζονται με τον υπολογιστή. Η μετατροπή μεταξύ αριθμητικών συστημάτων είναι συνεπώς σημαντική δεξιότητα για όσους εργάζονται με υπολογιστές.
Γενικές μετατροπές βάσης
Διαχωρίστε τον αριθμό που θέλετε να μετατρέψετε από την επιθυμητή βάση. Χρησιμοποιώντας την τυπική κατανομή διαχωρισμού, γράψτε τον πλειοδότη ως ακέραιο αριθμό πάνω από το μέρισμα με το υπόλοιπο στα δεξιά του πηλίκο. Για παράδειγμα, για να μετατρέψετε τον αριθμό 12 σε δυαδικό (βάση 2), διαιρέστε 12 με 2, με αποτέλεσμα ένα πηλίκο 6 με ένα υπόλοιπο 0.
Κάντε ένα άλλο σύμβολο διαίρεσης πάνω από τον πηλίκο και διαιρέστε από τη βάση ξανά. Επαναλάβετε αυτή τη διαδικασία με κάθε προκύπτον πηλίκο μέχρι να έχετε ένα πηλίκον 0. Για παράδειγμα, συνεχίζοντας να διαιρείτε 2 σε 6 σας δίνει 3 με υπόλοιπο 0, τότε 1 με υπόλοιπο 1 και στη συνέχεια 0 με υπόλοιπο 1.
Επανατοποθετήστε κάθε υπόλοιπο χρησιμοποιώντας το σύστημα αριθμών στο οποίο μετατρέπετε, εάν η βάση είναι μεγαλύτερη από αυτή που μετατρέπετε. Εάν δεν προσπαθείτε να μετατρέψετε από μια μη δεκαδική βάση, αυτό ισχύει μόνο όταν μετατρέπετε σε βάσεις μεγαλύτερες από 10. Το δεκαεξαδικό σύστημα (βάση 16) χρησιμοποιεί τα γράμματα Α, Β, Γ, Δ, Ε και ΣΤ για να αντιπροσωπεύει τους αριθμούς 10, 11, 12, 13, 14 και 15, αντίστοιχα. Επομένως, εάν μετατρέπετε σε δεκαεξαδικό, θα ξαναγράψετε κάθε υπόλοιπο με μια τιμή 10 ή μεγαλύτερη, χρησιμοποιώντας το κατάλληλο γράμμα.
Γράψτε τα υπόλοιπα ως ψηφία ενός μόνο αριθμού, αρχίζοντας από το τελευταίο υπόλοιπο και τελειώνοντας με το πρώτο. Αυτός είναι ο αριθμός που έχετε μετατρέψει. Στο παράδειγμα που δίνεται, υπάρχουν τέσσερα υπόλοιπα: 1100. Αυτό είναι το δυαδικό ισοδύναμο με τον αριθμό 12.
Αυτή η μέθοδος λειτουργεί για τη μετατροπή από οποιαδήποτε βάση σε οποιαδήποτε άλλη βάση. Ωστόσο, η μετατροπή από μια μη δεκαδική βάση απαιτεί τη διδασκαλία με ένα μη δεκαδικό σύστημα αριθμών. Για παράδειγμα, το 1100 μπορεί να μετατραπεί σε 12 αν γνωρίζετε πώς να κάνετε δυαδικά μαθηματικά. Για το λόγο αυτό, είναι βολικό να έχουμε μια άλλη μέθοδο για τη μετατροπή μη δεκαδικών βάσεων σε δεκαδική.
Μετατροπές σε δεκαδικό
Γράψτε τις δυνάμεις της βάσης από τα δεξιά προς τα αριστερά, ξεκινώντας με τη βάση που ανυψώνεται στη δύναμη 0. Οι δυνάμεις αυξάνονται διαδοχικά από τα δεξιά προς τα αριστερά. Χρειάζεται μόνο το ίδιο μέγεθος εξουσιών με το ποσό των ψηφίων που περιέχει ο συγκεκριμένος αριθμός. Για παράδειγμα, ο οκταδικός (βασικός 8) αριθμός 2154 έχει τέσσερα ψηφία, έτσι οι δυνάμεις είναι 8 ^ 3, 8 ^ 2, 8 ^ 1, 8 ^ 0.
Αξιολογήστε καθεμία από τις εξουσίες που αναφέρονται. Στο παράδειγμα που δίνεται, οι εξουσίες αξιολογούνται στα 512, 64, 8 και 1.
Πολλαπλασιάστε κάθε ψηφίο με την αντίστοιχη ισχύ και βρείτε το άθροισμα αυτών των προϊόντων. Για βάσεις μεγαλύτερες από 10, μετατρέψτε τα ψηφία στα δεκαδικά τους ισοδύναμα πριν πολλαπλασιαστείτε. Το προκύπτον ποσό είναι η δεκαδική τιμή του συγκεκριμένου αριθμού. Για παράδειγμα, ο οκταδικός αριθμός 2154 = 2_512 + 1_64 + 5_8 + 4_1 = 1132 σε δεκαδικό.
Μετατροπές από δυαδικό σε οκταδικό ή δεκαεξαδικό
Γράψτε τον δυαδικό αριθμό με ένα διάστημα μετά από κάθε τρίτο ή τέταρτο ψηφίο, ανάλογα με το αν μετατρέπετε σε οκταδικό ή δεκαεξαδικό, ξεκινώντας από τη δεξιά. Κατά τη μετατροπή σε οκταδικό, τοποθετήστε το διάστημα μετά από κάθε τρίτο ψηφίο (για δεκαεξαδικό, τοποθετήστε το διάστημα μετά από κάθε τέταρτο ψηφίο). Αυτό δημιουργεί μικρά πακέτα δυαδικών ψηφίων. Για παράδειγμα, για να μετατρέψετε σε δεκαεξαδικό, ξαναγράψτε τον δυαδικό αριθμό 1101010 ως 110 1010. Παρατηρήστε ότι το πρώτο πακέτο έχει μόνο τρία ψηφία, επειδή η καταμέτρηση των τεσσάρων ψηφίων ξεκίνησε από τα δεξιά.
Μετατρέψτε κάθε πακέτο σε οκταδικό ή δεκαεξαδικό ισοδύναμο. Τρία δυαδικά ψηφία έχουν ένα εύρος τιμών από 0 έως 7, το οποίο είναι το ίδιο εύρος για ένα οκταδικό ψηφίο. Με τον ίδιο τρόπο, τέσσερα δυαδικά ψηφία κυμαίνονται από 0 έως 15, το ίδιο εύρος με τα δεκαεξαδικά ψηφία. Θυμηθείτε να χρησιμοποιήσετε τις δυνάμεις των δύο κατά τη μετατροπή από τα δυαδικά: 8, 4, 2 και 1. Για παράδειγμα, το πρώτο πακέτο 110 ισούται με 1_4 + 1_2 + 0_1 = 6. Το δεύτερο πακέτο 1010 ισούται με 1_8 + 0_4 + 1_2 + 0 * 1 = 10, η οποία είναι η δεκαεξαδική τιμή Α.
Γράψτε τα δεκαεξαδικά ψηφία ως έναν μόνο αριθμό. Στο παράδειγμα που δίνεται, το 1101010 είναι 6Α σε δεκαεξαδικό. Η μετατροπή από δυαδικό σε δεκαεξαδικό είναι πολύ πιο εύκολη από τη μετατροπή από δυαδικό σε δεκαδικό, διότι δεν υπάρχει κανένα δυαδικό μέγεθος πακέτου που να αντιστοιχεί στις τιμές 0 έως 9. Για αυτό το λόγο, το δεκαεξαδικό είναι πολύ βολικό ως ένας συντομογραφικός τρόπος για να γράψετε αλλιώς πολύ μεγάλους δυαδικούς αριθμούς.
Παρατηρήστε ότι η μετατροπή από οκταδικό ή δεκαεξαδικό είναι ακριβώς το αντίθετο από τη μετατροπή σε αυτά. Καταχωρίστε κάθε ψηφίο ως δυαδικό πακέτο τριών ή τεσσάρων ψηφίων και, στη συνέχεια, γράψτε τα ως ένα αριθμό. Για παράδειγμα, ο οκταδικός αριθμός 2154 = 10 001 101 100. Το τράβηγμα τους μαζί δίνει τον δυαδικό αριθμό 10001101100.