Περιεχόμενο
- Ορισμός της ανισότητας απόλυτης τιμής
- Πώς να λύσετε μια ανισότητα απόλυτης αξίας
- Απόλυτη Αξία Ανισότητες χωρίς Λύση
- Σημείωση διαστήματος
Η επίλυση των ανισοτήτων απόλυτης τιμής είναι πολύ σαν την επίλυση εξισώσεων απόλυτης αξίας, αλλά υπάρχουν μερικές επιπλέον λεπτομέρειες που πρέπει να λάβετε υπόψη. Βοηθάει να είναι ήδη άνετη η επίλυση των εξισώσεων απόλυτης αξίας, αλλά είναι εντάξει εάν τα εκπαιδεύετε μαζί!
Ορισμός της ανισότητας απόλυτης τιμής
Πρώτα απ 'όλα, ένα απόλυτη ανισότητα αξίας είναι μια ανισότητα που περιλαμβάνει μια έκφραση απόλυτης αξίας. Για παράδειγμα,
| 5 + Χ | - 10> 6 είναι μια ανισότητα απόλυτης αξίας επειδή έχει ένα σύμβολο ανισότητας>, και μια έκφραση απόλυτης τιμής, | 5 + Χ |.
Πώς να λύσετε μια ανισότητα απόλυτης αξίας
ο βήματα για την επίλυση μιας ανισότητας απόλυτης αξίας μοιάζουν πολύ με τα βήματα για την επίλυση μιας εξίσωσης απόλυτης τιμής:
Βήμα 1: Απομονώστε την έκφραση απόλυτης τιμής στη μία πλευρά της ανισότητας.
Βήμα 2: Λύστε τη θετική "εκδοχή" της ανισότητας.
Βήμα 3: Λύστε την αρνητική "έκδοση" της ανισότητας πολλαπλασιάζοντας την ποσότητα στην άλλη πλευρά της ανισότητας κατά -1 και αναστρέφοντας το σημάδι ανισότητας.
Αυτό είναι πολλά που μπορείτε να κάνετε όλα μαζί, έτσι είναι ένα παράδειγμα που θα σας οδηγήσει στα βήματα.
Επίλυση της ανισότητας Χ: | 5 + 5_x_ | - 3> 2.
Για να το κάνετε αυτό, πάρτε | 5 + 5_x_ | από μόνη της στην αριστερή πλευρά της ανισότητας. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να προσθέσετε 3 σε κάθε πλευρά:
| 5 + 5_x_ | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
| 5 + 5_x_ | > 5.
Τώρα υπάρχουν δύο "εκδόσεις" της ανισότητας που πρέπει να λύσουμε: τη θετική "έκδοση" και την αρνητική "έκδοση".
Για αυτό το βήμα, υποθέστε ότι τα πράγματα είναι όπως φαίνονται: ότι 5 + 5_x_> 5.
| 5 + 5_x_ | > 5 → 5 + 5_x_> 5.
Αυτή είναι μια απλή ανισότητα. απλά πρέπει να λύσετε Χ ως συνήθως. Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές, στη συνέχεια διαιρέστε και τις δύο πλευρές κατά 5.
5 + 5_x_> 5
5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (αφαιρέστε πέντε και από τις δύο πλευρές)
5_x_> 0
5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (διαιρέστε τις δύο πλευρές κατά πέντε)
Χ > 0.
Δεν είναι κακό! Επομένως, μια πιθανή λύση στην ανισότητά μας είναι αυτή Χ > 0. Τώρα, δεδομένου ότι υπάρχουν απόλυτες τιμές, ο χρόνος της θεωρεί μια άλλη πιθανότητα.
Για να κατανοήσουμε αυτό το επόμενο κομμάτι, βοηθά να θυμόμαστε τι σημαίνει απόλυτη αξία. Απόλυτη τιμή μετρά μια απόσταση από το μηδέν. Η απόσταση είναι πάντα θετική, έτσι 9 είναι εννέα μονάδες μακριά από το μηδέν, αλλά -9 είναι επίσης εννέα μονάδες μακριά από το μηδέν.
Έτσι | 9 | = 9, αλλά | -9 | = 9 επίσης.
Τώρα επιστρέψτε στο παραπάνω πρόβλημα. Η παραπάνω εργασία έδειξε ότι | 5 + 5_x_ | > 5; με άλλα λόγια, η απόλυτη τιμή του "κάτι" είναι μεγαλύτερη από πέντε. Τώρα, κάθε θετικός αριθμός μεγαλύτερο από πέντε θα είναι πιο μακριά από το μηδέν από το πέντε. Έτσι, η πρώτη επιλογή ήταν ότι "κάτι", 5 + 5_x_, είναι μεγαλύτερο από 5.
Αυτό είναι: 5 + 5_x_> 5.
Αυτό είναι το σενάριο που εξετάστηκε παραπάνω, στο Βήμα 2.
Τώρα σκεφτείτε λίγο περισσότερο. Τι άλλο είναι πέντε μονάδες μακριά από το μηδέν; Λοιπόν, είναι αρνητικό πέντε. Και οτιδήποτε άλλο κατά μήκος της γραμμής αριθμού από το αρνητικό πέντε πρόκειται να είναι ακόμα πιο μακριά από το μηδέν. Έτσι, το "κάτι" μας θα μπορούσε να είναι ένας αρνητικός αριθμός που βρίσκεται πιο μακριά από το μηδέν από το αρνητικό πέντε. Αυτό σημαίνει ότι θα ήταν ένας μεγάλος αριθμός, αλλά τεχνικά λιγότερο από αρνητικό πέντε επειδή κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση στη γραμμή αριθμού.
Έτσι το "κάτι" μας, 5 + 5x, θα μπορούσε να είναι μικρότερο από -5.
5 + 5_x_ <-5
Ο γρήγορος τρόπος να γίνει αυτό αλγεβρικά είναι να πολλαπλασιάσετε την ποσότητα στην άλλη πλευρά της ανισότητας, 5, αρνητική, και στη συνέχεια να ανασηκώσετε την ένδειξη ανισότητας:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5_x_ <- 5
Στη συνέχεια λύστε το ως συνήθως.
5 + 5_x_ <-5
5 + 5_x_ (-5) <-5 (- 5) (αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές)
5_x_ <-10
5_x_ (÷ 5) <-10 (÷ 5)
Χ < −2.
Επομένως, οι δύο πιθανές λύσεις στην ανισότητα είναι Χ > 0 ή Χ <-2. Ελέγξτε τον εαυτό σας συνδέοντας μερικές πιθανές λύσεις για να βεβαιωθείτε ότι η ανισότητα εξακολουθεί να ισχύει.
Απόλυτη Αξία Ανισότητες χωρίς Λύση
Υπάρχει ένα σενάριο όπου θα υπήρχε δεν υπάρχουν λύσεις για μια ανισότητα απόλυτης αξίας. Δεδομένου ότι οι απόλυτες τιμές είναι πάντα θετικές, η επίκλιση είναι ίση ή μικρότερη από τους αρνητικούς αριθμούς.
Έτσι | Χ | <-2 έχει καμία λύση επειδή το αποτέλεσμα μιας έκφρασης απόλυτης τιμής πρέπει να είναι θετικό.
Σημείωση διαστήματος
Για να γράψουμε τη λύση στο κύριο παράδειγμα μας στο σημειώστε το διάστημα, σκεφτείτε πώς φαίνεται η λύση στη γραμμή αριθμών. Η λύση μας ήταν Χ > 0 ή Χ <-2. Σε μια γραμμή αριθμών, αυτή είναι μια ανοικτή κουκκίδα στο 0, με μια γραμμή που εκτείνεται προς το θετικό άπειρο, και μια ανοικτή κουκκίδα στο -2, με μια γραμμή που εκτείνεται μακριά στο αρνητικό άπειρο. Αυτές οι λύσεις δείχνουν μακρυά από το ένα το άλλο, όχι το ένα προς το άλλο, οπότε παίρνετε κάθε κομμάτι ξεχωριστά.
Για το x> 0 σε μια γραμμή αριθμών, υπάρχει μια ανοικτή κουκκίδα στο μηδέν και στη συνέχεια μια γραμμή που εκτείνεται προς το άπειρο. Στη σημείωση διαστήματος, μια ανοικτή κουκκίδα απεικονίζεται με παρενθέσεις, () και μια κλειστή κουκκίδα ή ανισότητες με ≥ ή ≤, θα χρησιμοποιούσαν αγκύλες,. Ετσι, για Χ > 0, γράψτε (0, ∞).
Το άλλο μισό, Χ <-2, σε μια γραμμή αριθμού είναι μια ανοικτή κουκκίδα στο -2 και στη συνέχεια ένα βέλος που εκτείνεται μέχρι το -∞. Στη σημείωση διαστήματος, thats (-∞, -2).
"Ή" στη σημείωση διαστήματος είναι το σύμβολο, ∪.
Έτσι, η λύση στη σημείωση διαστήματος είναι (-∞, -2) ∪ (0, ∞).