Περιεχόμενο
Οι τρεις μέθοδοι που χρησιμοποιούνται συχνότερα για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων είναι υποκαταστάσεις, εξάλειψη και επαυξημένες μήτρες. Η αντικατάσταση και η εξάλειψη είναι απλές μέθοδοι που μπορούν να λύσουν αποτελεσματικά τα περισσότερα συστήματα δύο εξισώσεων σε μερικά απλά βήματα. Η μέθοδος των επαυξημένων πινάκων απαιτεί περισσότερα βήματα, αλλά η εφαρμογή της επεκτείνεται σε μια μεγαλύτερη ποικιλία συστημάτων.
Υποκατάσταση
Η αντικατάσταση είναι μια μέθοδος επίλυσης συστημάτων εξισώσεων, αφαιρώντας όλες εκτός από μία από τις μεταβλητές σε μία από τις εξισώσεις και στη συνέχεια επιλύοντας αυτή την εξίσωση. Αυτό επιτυγχάνεται με την απομόνωση της άλλης μεταβλητής σε μια εξίσωση και στη συνέχεια με αντικατάσταση τιμών για αυτές τις μεταβλητές σε άλλη άλλη εξίσωση. Για παράδειγμα, για την επίλυση του συστήματος των εξισώσεων x + y = 4, 2x - 3y = 3, απομονώστε τη μεταβλητή x στην πρώτη εξίσωση για να πάρουμε x = 4 - y, τότε αντικαταστήστε αυτή τη τιμή του y στη δεύτερη εξίσωση για να πάρετε 2 (4 - y) - 3y = 3. Αυτή η εξίσωση απλοποιείται σε -5y = -5 ή y = 1. Συνδέστε αυτήν την τιμή στη δεύτερη εξίσωση για να βρείτε την τιμή x: x + 1 = 4 ή x = 3.
Εξάλειψη
Η εξάλειψη είναι ένας άλλος τρόπος για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων με την επανεγγραφή μιας από τις εξισώσεις με όρους μόνο μιας μεταβλητής. Η μέθοδος απομάκρυνσης επιτυγχάνει αυτό προσθέτοντας ή αφαιρώντας εξισώσεις μεταξύ τους για να ακυρώσετε μία από τις μεταβλητές. Για παράδειγμα, η προσθήκη των εξισώσεων x + 2y = 3 και 2x - 2y = 3 δίνει μια νέα εξίσωση, 3x = 6 (σημειώστε ότι οι όροι y ακυρώθηκαν). Το σύστημα στη συνέχεια επιλύεται χρησιμοποιώντας τις ίδιες μεθόδους όπως και για την υποκατάσταση. Εάν είναι αδύνατο να ακυρωθούν οι μεταβλητές στις εξισώσεις, θα είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με έναν συντελεστή ώστε να αντιστοιχίσουμε τους συντελεστές.
Αυξημένη μήτρα
Αυξημένες μήτρες μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Ο ενισχυμένος πίνακας αποτελείται από σειρές για κάθε εξίσωση, στήλες για κάθε μεταβλητή και μια επαυξημένη στήλη που περιέχει τον σταθερό όρο στην άλλη πλευρά της εξίσωσης. Για παράδειγμα, η ενισχυμένη μήτρα για το σύστημα εξισώσεων 2x + y = 4, 2x - y = 0 είναι, ...].
Προσδιορισμός της λύσης
Το επόμενο βήμα περιλαμβάνει τη χρήση στοιχειωδών λειτουργιών γραμμών, όπως το πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση μιας σειράς με μια σταθερά διαφορετική από το μηδέν και την προσθήκη ή αφαίρεση σειρών. Ο στόχος αυτών των λειτουργιών είναι να μετατρέψει τη μήτρα σε μορφή γραμμής-κλιμάκωσης, στην οποία η πρώτη μη μηδενική είσοδος σε κάθε σειρά είναι 1, οι καταχωρίσεις πάνω και κάτω από αυτή την καταχώρηση είναι όλα μηδενικά και η πρώτη μη μηδενική καταχώρηση για κάθε η σειρά είναι πάντα δεξιά από όλες αυτές τις καταχωρίσεις στις γραμμές πάνω από αυτήν. Η φόρμα γραμμών για το παραπάνω πλέγμα είναι, ...]. Η τιμή της πρώτης μεταβλητής δίνεται από την πρώτη σειρά (1x + 0y = 1 ή x = 1). Η τιμή της δεύτερης μεταβλητής δίνεται από τη δεύτερη σειρά (0x + 1y = 2 ή y = 2).
Εφαρμογές
Η αντικατάσταση και η εξάλειψη είναι απλούστερες μέθοδοι επίλυσης των εξισώσεων και χρησιμοποιούνται πολύ συχνότερα από τις επαυξημένες μήτρες στη βασική άλγεβρα. Η μέθοδος υποκατάστασης είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν μία από τις μεταβλητές είναι ήδη απομονωμένη σε μία από τις εξισώσεις. Η μέθοδος εξάλειψης είναι χρήσιμη όταν ο συντελεστής μίας από τις μεταβλητές είναι ο ίδιος (ή το αρνητικό ισοδύναμό της) σε όλες τις εξισώσεις. Το κύριο πλεονέκτημα των ενισχυμένων πινάκων είναι ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση συστημάτων τριών ή περισσοτέρων εξισώσεων σε καταστάσεις όπου η υποκατάσταση και η εξάλειψη είναι είτε ανέφικτες είτε αδύνατες.