Περιεχόμενο
- Υπολογισμός της περιοχής ενός τακτικού πολυγώνου 12 πλευρών
- Εύρεση της περιοχής ενός παράτυπου δωδεκαγώνου
Ένα πολύγωνο είναι κάθε κλειστό δισδιάστατο σχήμα με 3 ή περισσότερες ευθείες (όχι καμπύλες) πλευρές και ένα πολύγωνο 12 πλευρών είναι γνωστό ως dodecagon. Ένα κανονικό δωδεκάγωνο είναι ένα με ίσες πλευρές και γωνίες, και είναι δυνατόν να αντληθεί ένας τύπος για τον υπολογισμό της περιοχής του. Ένα ακανόνιστο δωδεκάγωνο έχει πλευρές με διαφορετικά μήκη και διαφορετικές γωνίες. Ένα αστέρι με έξι άκρες είναι ένα παράδειγμα. Δεν υπάρχει εύκολος τρόπος για να υπολογίσετε την περιοχή ενός ακανόνιστου αριθμού 12 όψεων, εκτός και αν τυχαίνει να έχει σχεδιαστεί σε γράφημα και να διαβάζει τις συντεταγμένες κάθε κορυφής. Αν όχι, η καλύτερη στρατηγική είναι να διαιρέσετε το σχήμα σε κανονικά σχήματα για τα οποία μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή.
Υπολογισμός της περιοχής ενός τακτικού πολυγώνου 12 πλευρών
Για να υπολογίσετε την περιοχή ενός τακτικού δωδεκαγώνου, πρέπει να βρείτε το κέντρο του και ο καλύτερος τρόπος να το κάνετε είναι να γράψετε έναν κύκλο γύρω του που αγγίζει κάθε κορυφή του. Το κέντρο του κύκλου είναι το κέντρο του δωδεκαγώνου και η απόσταση από το κέντρο του σχήματος σε κάθε κορυφή του είναι απλά η ακτίνα του κύκλου (r). Κάθε μία από τις 12 πλευρές του σχήματος έχει το ίδιο μήκος, οπότε το δηλώνουμε με s.
Χρειάζεται μια ακόμη μέτρηση, και αυτό είναι το μήκος μιας κάθετης γραμμής από το κέντρο της κάθε πλευράς στο κέντρο του σχήματος 12 πλευρών. Αυτή η γραμμή είναι γνωστή ως apothem. Σημειώστε το μήκος του Μ. Διαχωρίζει κάθε τμήμα που σχηματίζεται από τις γραμμές ακτίνας σε δύο ορθογώνια τρίγωνα. Δεν το ξέρετε Μ, αλλά μπορείτε να το βρείτε χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Οι 12 γραμμές ακτίνας διαιρούν τον κύκλο που περιγράψατε γύρω από το δωδεκαγώνιο σε 12 ίσα τμήματα, έτσι στο κέντρο του σχήματος η γωνία που κάθε γραμμή κάνει με αυτή που βρίσκεται δίπλα είναι 30 μοίρες. Κάθε ένα από τα 12 τμήματα που σχηματίζονται από τις γραμμές ακτίνας αποτελείται από ένα ζεύγος ορθογωνίων τριγώνων με υποτείνουσα r και μία γωνία 15 μοιρών. Η πλευρά που βρίσκεται δίπλα στη γωνία είναι Μ, έτσι μπορείτε να το βρείτε χρησιμοποιώντας το r και το ημίτονο της γωνίας.
αμαρτία (15) = Μ/r, και επίλυση για Μ
Μ = r × sin (15)
Τώρα μπορείτε να βρείτε την περιοχή κάθε ισοσκελούς τριγώνου που είναι εγγεγραμμένο στο δωδεκάγωνο, επειδή γνωρίζετε το μήκος της βάσης - το οποίο είναι μικρό - και το ύψος, Μ. Η περιοχή κάθε τριγώνου είναι 1/2 × βάση × ύψος
= 1/2 × μικρό × Μ
= 1/2 × (μικρό × r × sin (15))
Υπάρχουν 12 τέτοιες ενότητες, πολλαπλασιάζοντας έτσι τις 12 για να βρείτε τη συνολική έκταση της κανονικής μορφής 12 όψεων:
Περιοχή κανονικού δωδεκαγώνου = 6 × (μικρό × r × sin (15))
Εύρεση της περιοχής ενός παράτυπου δωδεκαγώνου
Δεν υπάρχει τύπος για την εύρεση της περιοχής ενός ακανόνιστου δωδεκαγώνου, καθώς τα μήκη των πλευρών και οι γωνίες δεν είναι το ίδιο. Είναι ακόμη δύσκολο να εντοπίσουμε το κέντρο. Η καλύτερη στρατηγική είναι να διαιρέσετε το σχήμα σε κανονικά σχήματα, να υπολογίσετε την έκταση του καθενός και να τα προσθέσετε.
Εάν το σχήμα γραφείται σε γράφημα και γνωρίζετε τις συντεταγμένες των κορυφών, υπάρχει ένας τύπος που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε για τον υπολογισμό της περιοχής. Εάν κάθε σημείο (n) ορίζεται από (Χn, yn) και πηγαίνετε γύρω από τον αριθμό με τη σειρά, είτε δεξιόστροφα είτε αριστερόστροφα, για να πάρετε μια σειρά από 12 πόντους, η περιοχή είναι:
Περιοχή = | (Χ1y2 − y1Χ2) + (Χ2y3 − y2Χ3) ... + (Χ11y12 − y11Χ12) +(Χ12y1 − y12Χ1)| ÷ 2.