Περιεχόμενο
- Τα βασικά της κίνησης
- Η εξίσωση γωνιακής ταχύτητας
- Εξισώσεις περιστροφής κίνησης
- Σχετικές ποσότητες και εκφράσεις
- Γωνιακή ταχύτητα έναντι γραμμικής ταχύτητας
Στην καθημερινή ομιλία, η "ταχύτητα" και η "ταχύτητα" χρησιμοποιούνται συχνά εναλλακτικά. Στη φυσική, όμως, αυτοί οι όροι έχουν συγκεκριμένες και διακριτές έννοιες. "Ταχύτητα" είναι ο ρυθμός μετατόπισης ενός αντικειμένου στο διάστημα και δίδεται μόνο από έναν αριθμό με συγκεκριμένες μονάδες (συχνά σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο ή μίλια ανά ώρα). Η ταχύτητα, από την άλλη πλευρά, είναι μια ταχύτητα συζευγμένη προς μια κατεύθυνση. Η ταχύτητα, επομένως, ονομάζεται κλιμακωτή ποσότητα, ενώ η ταχύτητα είναι μια διανυσματική ποσότητα.
Όταν ένα αυτοκίνητο φτάνει σε μια εθνική οδό ή ένα μπέιζ-μπώλ χτυπάει μέσα στον αέρα, η ταχύτητα των αντικειμένων αυτών μετριέται σε σχέση με το έδαφος, ενώ η ταχύτητα ενσωματώνει περισσότερες πληροφορίες. Για παράδειγμα, εάν είστε σε ένα αυτοκίνητο που ταξιδεύει με ταχύτητα 70 μίλια ανά ώρα στο Διεθνές 95 στην ανατολική ακτή των Ηνωμένων Πολιτειών, είναι επίσης χρήσιμο να μάθετε αν κατευθύνεται βορειοανατολικά προς τη Βοστώνη ή νότια προς τη Φλόριντα. Με το μπέιζμπολ, ίσως θελήσετε να μάθετε αν η συντεταγμένη του γ είναι πιο γρήγορη από την x-συντεταγμένη (μπάλα μύγας) ή αν το αντίστροφο είναι αληθές (ένας οδηγός γραμμής). Τι γίνεται όμως με την περιστροφή των ελαστικών ή την περιστροφή του μπέιζμπολ καθώς το αυτοκίνητο και η μπάλα μετακινούνται προς τον τελικό προορισμό τους; Για αυτά τα είδη ερωτήσεων, η φυσική προσφέρει την έννοια του γωνιακή ταχύτητα.
Τα βασικά της κίνησης
Τα πράγματα κινούνται μέσα από τον τρισδιάστατο φυσικό χώρο με δύο βασικούς τρόπους: μετάφραση και περιστροφή. Η μετάφραση είναι η μετατόπιση ολόκληρου του αντικειμένου από τη μία θέση στην άλλη, όπως ένα αυτοκίνητο που οδηγεί από τη Νέα Υόρκη στο Λος Άντζελες. Η περιστροφή, από την άλλη πλευρά, είναι η κυκλική κίνηση ενός αντικειμένου γύρω από ένα σταθερό σημείο. Πολλά αντικείμενα, όπως το μπέιζμπολ στο παραπάνω παράδειγμα, παρουσιάζουν ταυτόχρονα και τους δύο τύπους κίνησης. ως σφαίρα μύγας που κινείται μέσω του αέρα από το σπίτι πλάκα προς το φράχτη outfield, επίσης γυρίζει σε ένα δεδομένο ποσοστό γύρω από το δικό του κέντρο.
Η περιγραφή αυτών των δύο ειδών κίνησης αντιμετωπίζονται ως ξεχωριστά προβλήματα φυσικής. δηλαδή κατά τον υπολογισμό της απόστασης που περνάει η μπάλα από τον αέρα με βάση την αρχική γωνία εκτόξευσης και την ταχύτητα με την οποία αφήνει το ρόπαλο, μπορείτε να αγνοήσετε την περιστροφή του και κατά τον υπολογισμό της περιστροφής του μπορείτε να το αντιμετωπίσετε σαν να κάθεστε σε ένα θέση για τους παρόντες σκοπούς.
Η εξίσωση γωνιακής ταχύτητας
Πρώτον, όταν μιλάτε για "γωνιακό" οτιδήποτε, είτε πρόκειται για ταχύτητα είτε για κάποια άλλη φυσική ποσότητα, αναγνωρίστε ότι επειδή ασχολείστε με γωνίες, μιλάτε για ταξίδια σε κύκλους ή τμήματα αυτών. Μπορείτε να ανακαλέσετε από τη γεωμετρία ή την τριγωνομετρία ότι η περιφέρεια ενός κύκλου είναι η διάμετρος της σε σχέση με τη σταθερή pi, ή πδ. (Η τιμή του pi είναι περίπου 3,14159.) Αυτό εκφράζεται πιο συχνά σε όρους ακτίνας των κύκλων r, η οποία είναι η μισή διάμετρος, κάνοντας την περιφέρεια 2πρ.
Επιπλέον, έχετε μάλλον μάθει κάπου κατά μήκος του τρόπου που ένας κύκλος αποτελείται από 360 μοίρες (360 °). Εάν μετακινήσετε μια απόσταση S κατά μήκος ενός κύκλου, από τη γωνιακή μετατόπιση θ είναι ίση με S / r. Μια πλήρης επανάσταση, λοιπόν, δίνει 2πr / r, που αφήνει μόλις 2π. Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες μικρότερες από 360 ° μπορούν να εκφράζονται σε όρους pi, ή με άλλα λόγια, ως ακτίνια.
Λαμβάνοντας όλα αυτά τα στοιχεία μαζί, μπορείτε να εκφράσετε γωνίες ή τμήματα ενός κύκλου σε μονάδες διαφορετικές από τις βαθμίδες:
360 ° = (2π) ακτίνια, ή
1 ακτίνια = (360 ° / 2π) = 57,3 °,
Ενώ η γραμμική ταχύτητα εκφράζεται σε μήκος ανά μονάδα χρόνου, η γωνιακή ταχύτητα μετράται σε ακτίνια ανά μονάδα χρόνου, συνήθως ανά δευτερόλεπτο.
Εάν γνωρίζετε ότι ένα σωματίδιο κινείται σε μια κυκλική διαδρομή με ταχύτητα v σε μια απόσταση r από το κέντρο του κύκλου, με την κατεύθυνση του v που είναι πάντα κάθετα στην ακτίνα του κύκλου, τότε μπορεί να γραφτεί η γωνιακή ταχύτητα
ω = v / r,
που ω είναι το ελληνικό γράμμα ωμέγα. Οι μονάδες γωνιακής ταχύτητας είναι ακτινίδια ανά δευτερόλεπτο. μπορείτε επίσης να επεξεργαστείτε τη μονάδα ως "αμοιβαία δευτερόλεπτα", επειδή v / r αποδίδει m / s διαιρούμενο με m ή s-1, πράγμα που σημαίνει ότι τα ακτίνια είναι τεχνικά μια ενιαία ποσότητα.
Εξισώσεις περιστροφής κίνησης
Ο τύπος γωνιακής επιτάχυνσης προκύπτει με τον ίδιο ουσιαστικό τρόπο όπως ο τύπος γωνιακής ταχύτητας: Είναι απλώς η γραμμική επιτάχυνση σε κατεύθυνση κάθετη προς την ακτίνα του κύκλου (ισοδύναμα, επιτάχυνση κατά μήκος μιας εφαπτομένης στην κυκλική διαδρομή σε οποιοδήποτε σημείο) από την ακτίνα του κύκλου ή τμήματος ενός κύκλου, που είναι:
α = αt/ r
Αυτό δίνεται επίσης από:
α = ω / τόνο
γιατί για κυκλική κίνηση, at = ωr / t = ο / ο.
α, όπως ίσως γνωρίζετε, είναι το ελληνικό γράμμα "άλφα". Ο δείκτης "t" εδώ δηλώνει "εφαπτομένη".
Περιέργως, όμως, η περιστροφική κίνηση μπορεί να υπερηφανεύεται για μια άλλη επιτάχυνση, η οποία αποκαλείται κεντροακτυλική επιτάχυνση. Αυτό δίνεται από την έκφραση:
έναντο = v2/ r
Αυτή η επιτάχυνση κατευθύνεται προς το σημείο γύρω από το οποίο το εν λόγω αντικείμενο περιστρέφεται. Αυτό μπορεί να φαίνεται περίεργο, αφού το αντικείμενο δεν πλησιάζει αυτό το κεντρικό σημείο από την ακτίνα r είναι σταθερό. Σκεφτείτε την κεντρομόλη επιτάχυνση ως ελεύθερη πτώση στην οποία δεν υπάρχει κίνδυνος το αντικείμενο να χτυπήσει το έδαφος, επειδή η δύναμη που τραβά το αντικείμενο προς αυτήν (συνήθως βαρύτητα) αντισταθμίζεται ακριβώς από την εφαπτόμενη (γραμμική) επιτάχυνση που περιγράφεται από την πρώτη εξίσωση αυτός ο τομέας. Αν έναντο δεν ήταν ίσες με έναt, το αντικείμενο θα πετάξει είτε στο διάστημα είτε σύντομα θα καταρρεύσει στο μέσο του κύκλου.
Σχετικές ποσότητες και εκφράσεις
Αν και η γωνιακή ταχύτητα εκφράζεται συνήθως, όπως σημειώνεται, σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο, μπορεί να υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες είναι προτιμότερο ή απαραίτητο να χρησιμοποιούνται βαθμοί ανά δευτερόλεπτο αντί για αντίστροφη μετατροπή από μοίρες σε ακτίνια πριν την επίλυση ενός προβλήματος.
Πείτε ότι σας είπαν ότι μια πηγή φωτός περιστρέφεται κατά 90 ° κάθε δευτερόλεπτο με μια σταθερή ταχύτητα. Ποια είναι η γωνιακή ταχύτητά της σε ακτίνια;
Πρώτον, να θυμάστε ότι 2π radians = 360 °, και να δημιουργήσετε ένα ποσοστό:
360 / 2π = 90 / χ
360x = 180π
x = ω = π / 2
Η απάντηση είναι το ήμισυ pi radians ανά δευτερόλεπτο.
Εάν σας έλεγαν περαιτέρω ότι η δέσμη φωτός έχει μια σειρά από 10 μέτρα, ποια θα είναι η άκρη της δοκού γραμμική ταχύτητα v, τη γωνιακή επιτάχυνσή της α και την κεντρομόνη επιτάχυνση έναντο?
Για να λυθεί για v, από πάνω, v = ωr, όπου ω = π / 2 και r = 10m:
(π / 2) (10) = 5π rad / s = 15,7 m / s
Για να λυθεί για α, απλά προσθέστε μια άλλη μονάδα ώρας στον παρονομαστή:
α = 5π rad / s2
(Σημειώστε ότι αυτό λειτουργεί μόνο για προβλήματα στα οποία η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή.)
Τέλος, επίσης από πάνω, αντο = v2/ r = (15,7)2/ 10 = 24,65 m / s2.
Γωνιακή ταχύτητα έναντι γραμμικής ταχύτητας
Με βάση το προηγούμενο πρόβλημα, φανταστείτε τον εαυτό σας σε ένα πολύ μεγάλο γύρο, ένα με μια απίθανη ακτίνα 10 χιλιομέτρων (10.000 μέτρα). Αυτό το ποδήλατο κάνει μια πλήρη επανάσταση κάθε 1 λεπτό και 40 δευτερόλεπτα, ή κάθε 100 δευτερόλεπτα.
Μια συνέπεια της διαφοράς μεταξύ της γωνιακής ταχύτητας, η οποία είναι ανεξάρτητη από την απόσταση από τον άξονα περιστροφής και της γραμμικής κυκλικής ταχύτητας, η οποία δεν είναι, είναι ότι δύο άνθρωποι που βιώνουν το ίδιο ω μπορεί να υποβάλλονται σε πολύ διαφορετική φυσική εμπειρία. Αν τυχαίνει να βρίσκεστε σε απόσταση 1 μέτρου από το κέντρο, αν αυτή η υποτιθέμενη, μαζική κυκλική κίνηση, η γραμμική (εφαπτομενική) ταχύτητά σας είναι:
ωρ = (2π rad / 100 s) (1 m) = 0,0628 m / s ή 6,29 cm (λιγότερο από 3 ίντσες) ανά δευτερόλεπτο.
Αλλά αν είστε στο χείλος αυτού του τέρατος, η γραμμική σας ταχύτητα είναι:
ωr = (2π rad / 100 s) (10.000 m) = 628 m / s. Αυτό είναι περίπου 1.406 μίλια ανά ώρα, πιο γρήγορα από μια σφαίρα. Περιμένω!