Μια σειρά Taylor είναι μια αριθμητική μέθοδος που αντιπροσωπεύει μια δεδομένη συνάρτηση. Αυτή η μέθοδος έχει εφαρμογή σε πολλά πεδία μηχανικής. Σε ορισμένες περιπτώσεις, όπως η μεταφορά θερμότητας, η διαφορική ανάλυση οδηγεί σε μια εξίσωση που ταιριάζει με τη μορφή μιας σειράς Taylor. Μια σειρά Taylor μπορεί επίσης να αντιπροσωπεύει ένα αναπόσπαστο αν το ολοκλήρωμα αυτής της λειτουργίας δεν υπάρχει αναλυτικά. Αυτές οι αναπαραστάσεις δεν είναι ακριβείς τιμές, αλλά ο υπολογισμός περισσότερων όρων στη σειρά θα κάνει την προσέγγιση πιο ακριβή.
Επιλέξτε ένα κέντρο για τη σειρά Taylor. Αυτός ο αριθμός είναι αυθαίρετος, αλλά είναι καλή ιδέα να επιλέξουμε ένα κέντρο όπου υπάρχει συμμετρία στη λειτουργία ή όπου η τιμή για το κέντρο απλοποιεί τα μαθηματικά του προβλήματος. Αν υπολογίζετε την παράσταση της σειράς Taylor f (x) = sin (x), ένα καλό κέντρο για χρήση είναι a = 0.
Προσδιορίστε τον αριθμό των όρων που θέλετε να υπολογίσετε. Όσο περισσότεροι όροι χρησιμοποιείτε, τόσο πιο ακριβής θα είναι η εκπροσώπησή σας, αλλά επειδή μια σειρά Taylor είναι μια άπειρη σειρά, είναι αδύνατο να συμπεριληφθούν όλοι οι όροι. Το παράδειγμα της αμαρτίας (x) θα χρησιμοποιήσει έξι όρους.
Υπολογίστε τα παράγωγα που θα χρειαστείτε για τη σειρά. Για αυτό το παράδειγμα, πρέπει να υπολογίσετε όλα τα παράγωγα έως το έκτο παράγωγο. Δεδομένου ότι η σειρά Taylor ξεκινά από το "n = 0", πρέπει να συμπεριλάβετε το παράγωγο "0", το οποίο είναι απλά η αρχική λειτουργία. 1ο = cos (x) 2nd = -sin (x) 3ο = -cos (x) 4ο = sin (x) 5ο = cos (x)
Υπολογίστε την τιμή για κάθε παράγωγο στο κέντρο που επιλέξατε. Αυτές οι τιμές θα είναι οι αριθμητές για τους πρώτους έξι όρους της σειράς Taylor. (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0-cos (0) = -1 sin (0)
Χρησιμοποιήστε τους υπολογισμούς των παραγώγων και το κέντρο για να καθορίσετε τους όρους της σειράς Taylor. 1η θητεία. n = 0; (0/0!) (Χ - 0) ^ 0 = 0/1 2ος όρος. n = 1. (1/1!) (Χ-0) ^ 1 = χ / 1! Τρίτη θητεία. n = 2. (0/2!) (Χ - 0) ^ 2 = 0/2! 4η θητεία. n = 3. (-1/3!) (Χ-0) ^ 3 = -χ ^ 3/3! 5η θητεία. n = 4; (0/4!) (Χ-0) ^ 4 = 0/4! 6η θητεία. n = 5; (1/5!) (Χ-0) ^ 5 = χ ^ 5/5! Η σειρά Taylor για την αμαρτία (x): sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (χ ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
Καταργήστε τους μηδενικούς όρους στη σειρά και απλοποιήστε την έκφραση αλγεβρικά για να καθορίσετε την απλοποιημένη αναπαράσταση της λειτουργίας. Αυτό θα είναι μια τελείως διαφορετική σειρά, έτσι οι τιμές για το "n" που χρησιμοποιήθηκαν στο παρελθόν δεν ισχύουν πλέον. sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (χ ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ... sin (x) = x / 1! - (x ^ 3) / 3! + (x ^ 5) / 5! - ... Δεδομένου ότι οι ενδείξεις εναλλάσσονται μεταξύ θετικού και αρνητικού, η πρώτη συνιστώσα της απλοποιημένης εξίσωσης πρέπει να είναι (-1) ^ n, δεδομένου ότι δεν υπάρχουν ζυμωμένοι αριθμοί στη σειρά. Ο όρος (-1) ^ n καταλήγει σε ένα αρνητικό σύμβολο όταν το n είναι περιττό και ένα θετικό σημάδι όταν το n είναι ομοιόμορφο. Η αναπαράσταση σειράς των μονών αριθμών είναι (2n + 1). Όταν n = 0, ο όρος αυτός ισούται με 1. όταν n = 1, ο όρος αυτός ισούται με 3 και ούτω καθεξής προς το άπειρο. Σε αυτό το παράδειγμα, χρησιμοποιήστε αυτήν την παράσταση για τους εκθέτες του x και των factorials στον παρονομαστή
Χρησιμοποιήστε την παράσταση της λειτουργίας στη θέση της αρχικής λειτουργίας. Για πιο εξελιγμένες και πιο δύσκολες εξισώσεις, μια σειρά Taylor μπορεί να καταστήσει μια μη επιλύσιμη εξίσωση επίλυση ή τουλάχιστον να δώσει μια λογική αριθμητική λύση.