Περιεχόμενο
- Αντίστροφη μαθηματική λειτουργία
- Οι λειτουργίες μπορεί να είναι αντίστροφοι ή άμεσοι
- Δύο λειτουργίες μπορούν να έχουν μια αντίστροφη σχέση μεταξύ τους
Μπορείτε να δείτε τις αντίστροφες σχέσεις στα μαθηματικά με τρεις τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι να λαμβάνονται υπόψη οι λειτουργίες που αλληλοαναιρούνται. Η προσθήκη και η αφαίρεση είναι οι δύο πιο προφανείς πράξεις που συμπεριφέρονται με αυτόν τον τρόπο.
Ένας δεύτερος τρόπος να εξετάσουμε τις αντίστροφη σχέση είναι να εξετάσουμε τον τύπο των καμπυλών που παράγουν όταν γράφετε σχέσεις μεταξύ δύο μεταβλητών. Εάν η σχέση μεταξύ των μεταβλητών είναι άμεση, τότε η εξαρτημένη μεταβλητή αυξάνεται όταν αυξάνετε την ανεξάρτητη μεταβλητή και το γράφημα καμπυλώνεται προς την αύξηση των τιμών και των δύο μεταβλητών. Ωστόσο, εάν η σχέση είναι αντίστροφη, η εξαρτημένη μεταβλητή γίνεται μικρότερη όταν αυξάνεται η ανεξάρτητη και το γράφημα καμπυλώνεται προς τις μικρότερες τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής.
Ορισμένα ζεύγη λειτουργιών παρέχουν ένα τρίτο παράδειγμα αντιστρόφων σχέσεων. Όταν εκτελείτε γραφικές λειτουργίες που είναι αντίστροφο μεταξύ τους σε έναν άξονα x-y, οι καμπύλες εμφανίζονται ως είδωλες καθρέφτη η μία ως προς την άλλη σε σχέση με τη γραμμή x = y.
Αντίστροφη μαθηματική λειτουργία
Η προσθήκη είναι η πιο βασική από τις αριθμητικές πράξεις, και έρχεται με ένα κακό δίδυμο - αφαίρεση - που μπορεί να ανατρέψει αυτό που κάνει. Ας πούμε ότι ξεκινάτε με 5 και προσθέτετε 7. Λαμβάνετε 12, αλλά αν αφαιρέσετε 7, θα μείνει με τις 5 με τις οποίες ξεκινήσατε. Το αντίστροφο της προσθήκης είναι η αφαίρεση και το καθαρό αποτέλεσμα της προσθήκης και αφαίρεσης του ίδιου αριθμού είναι ισοδύναμο με την προσθήκη 0.
Μια παρόμοια αντίστροφη σχέση υπάρχει μεταξύ πολλαπλασιασμού και διαίρεσης, αλλά υπάρχει μια σημαντική διαφορά. Το καθαρό αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού και του διαχωρισμού ενός αριθμού με τον ίδιο παράγοντα είναι ο πολλαπλασιασμός του αριθμού κατά 1, ο οποίος τον αφήνει αμετάβλητο. Αυτή η αντίστροφη σχέση είναι χρήσιμη όταν απλοποιούμε σύνθετες αλγεβρικές εκφράσεις και επιλύουμε εξισώσεις.
Ένα άλλο ζεύγος αντίστροφων μαθηματικών πράξεων αυξάνει έναν αριθμό σε έναν εκθέτη "n" και παίρνει τη ριπή ρίζα του αριθμού. Η πλατεία σχέση είναι το πιο εύκολο να εξετάσει. Αν τετράγωνο 2, παίρνετε 4, και αν πάρετε την τετραγωνική ρίζα του 4, παίρνετε 2. Αυτή η αντίστροφη σχέση είναι επίσης χρήσιμη για να θυμάστε όταν επιλύει σύνθετες εξισώσεις.
Οι λειτουργίες μπορεί να είναι αντίστροφοι ή άμεσοι
Μια συνάρτηση είναι ένας κανόνας που παράγει ένα και μόνο ένα αποτέλεσμα για κάθε αριθμό που εισάγετε. Το σύνολο των αριθμών που εισάγετε ονομάζεται τομέας της συνάρτησης και το σύνολο των αποτελεσμάτων που παράγει η λειτουργία είναι το εύρος. Αν η λειτουργία είναι άμεση, μια ακολουθία τομέων θετικών αριθμών που μεγαλώνουν παράγει μια ακολουθία εύρους αριθμών που επίσης γίνονται μεγαλύτερες. F (x) = 2χ + 2, f (χ) = χ2 και f (x) = √x είναι όλες οι άμεσες λειτουργίες.
Μια αντίστροφη λειτουργία συμπεριφέρεται με διαφορετικό τρόπο. Όταν οι αριθμοί στον τομέα αυξάνονται, οι αριθμοί στην περιοχή γίνονται μικρότεροι. Το F (x) = 1 / x είναι η απλούστερη μορφή μιας αντίστροφης συνάρτησης. Καθώς το x παίρνει μεγαλύτερο, το f (x) πλησιάζει περισσότερο στο 0. Βασικά, οποιαδήποτε συνάρτηση με την μεταβλητή εισόδου στον παρονομαστή ενός κλάσματος, και μόνο στον παρονομαστή, είναι μια αντίστροφη λειτουργία. Άλλα παραδείγματα περιλαμβάνουν f (x) = n / x, όπου n είναι οποιοσδήποτε αριθμός, f (x) = n / √x και f (x) = n / (x + w) όπου w είναι ένας ακέραιος.
Δύο λειτουργίες μπορούν να έχουν μια αντίστροφη σχέση μεταξύ τους
Ένα τρίτο παράδειγμα αντίστροφης σχέσης στα μαθηματικά είναι ένα ζεύγος συναρτήσεων που είναι αντίστροφα μεταξύ τους. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι εισάγετε τους αριθμούς 2, 3, 4 και 5 στη συνάρτηση y = 2x + 1.Παίρνετε αυτά τα σημεία: (2,5), (3,7), (4,9) και (5,11). Αυτή είναι μια ευθεία γραμμή με κλίση 2 και y-τομή 1.
Τώρα αναστρέψτε τους αριθμούς στις αγκύλες για να δημιουργήσετε μια νέα λειτουργία: (5,2), (7,3), (9,4) και (11,5). Το εύρος της αρχικής συνάρτησης γίνεται ο τομέας του νέου και η περιοχή της αρχικής συνάρτησης γίνεται το εύρος της νέας. Είναι επίσης μια γραμμή, αλλά η κλίση του είναι 1/2 και το y-intercept είναι -1/2. Χρησιμοποιώντας τη μορφή y = mx + b μιας γραμμής, βρίσκετε την εξίσωση της γραμμής να είναι y = (1/2) (x - 1). Αυτό είναι το αντίστροφο της αρχικής λειτουργίας. Θα μπορούσατε εξίσου εύκολα να το αποκομίσετε μεταβαίνοντας τα x και y στην αρχική λειτουργία και απλοποιώντας το y από μόνο του στα αριστερά του ίση σήματος.