Περιεχόμενο
- Το Παράγωγο ως Πίσω
- Το Παράγωγο μιας Λειτουργίας Ισχύος
- Παράγωγο από μια σειρά ισχύος
- Παράγωγα από τους πίνακες
Μια από τις σημαντικές λειτουργίες που κάνετε στον λογισμό είναι η εύρεση παραγώγων. Το παράγωγο μιας συνάρτησης ονομάζεται επίσης και ο ρυθμός αλλαγής αυτής της συνάρτησης. Για παράδειγμα, αν x (t) είναι η θέση ενός αυτοκινήτου ανά πάσα στιγμή t, τότε το παράγωγο του x, το οποίο είναι γραμμένο dx / dt, είναι η ταχύτητα του αυτοκινήτου. Επίσης, το παράγωγο μπορεί να απεικονιστεί ως η κλίση μιας γραμμής εφαπτόμενης στο γράφημα μιας συνάρτησης. Σε θεωρητικό επίπεδο, αυτό είναι το πώς οι μαθηματικοί βρίσκουν παράγωγα. Στην πράξη, οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν σύνολα βασικών κανόνων και πινάκων αναζήτησης.
Το Παράγωγο ως Πίσω
Η κλίση μιας γραμμής μεταξύ δύο σημείων είναι η άνοδος, ή η διαφορά στις τιμές y διαιρούμενη από την εκτέλεση ή τη διαφορά στις τιμές x. Η κλίση μιας συνάρτησης y (x) για μια ορισμένη τιμή του x ορίζεται ως η κλίση μιας γραμμής που είναι εφαπτόμενη στη λειτουργία στο σημείο. Για να υπολογίσετε την κλίση κατασκευάζετε μια γραμμή μεταξύ του σημείου και ενός κοντινού σημείου, όπου h είναι ένας πολύ μικρός αριθμός. Για αυτή τη γραμμή, η πορεία ή η αλλαγή στην τιμή x είναι h, και η άνοδος ή η αλλαγή στην τιμή y είναι y (x + h) - y (x). Συνεπώς, η κλίση του y (x) στο σημείο είναι περίπου ίση προς / = / h. Για να πάρετε ακριβώς την πλαγιά, υπολογίζετε την τιμή της κλίσης καθώς το h γίνεται μικρότερο και μικρότερο, στο "όριο", όπου φτάνει στο μηδέν. Η κλίση που υπολογίζεται με αυτόν τον τρόπο είναι το παράγωγο του y (x), το οποίο είναι γραμμένο ως y '(x) ή dy / dx.
Το Παράγωγο μιας Λειτουργίας Ισχύος
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο κλίσης / ορίου για να υπολογίσετε τα παράγωγα των λειτουργιών όπου το y ισούται με το x στην ισχύ του a ή y (x) = x ^ a. Για παράδειγμα, εάν το y ισούται με το x, το y (x) = x ^ 3, τότε το dy / dx είναι το όριο, καθώς το h μεταβαίνει στο μηδέν του / h. Η επέκταση (x + h) ^ 3 δίνει / h, η οποία μειώνεται σε 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 αφού διαιρέσετε με h. Στο όριο, καθώς το h φτάνει στο μηδέν, όλοι οι όροι που έχουν h σε αυτούς επίσης φτάνουν στο μηδέν. Επομένως, y '(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Μπορείτε να το κάνετε αυτό για τιμές διαφορετικές από 3 και γενικά μπορείτε να δείξετε ότι d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a - 1).
Παράγωγο από μια σειρά ισχύος
Πολλές λειτουργίες μπορούν να γραφτούν σαν αυτές που ονομάζονται σειρές ισχύος, οι οποίες είναι το άθροισμα άπειρων αριθμητικών όρων, όπου το καθένα είναι της μορφής C (n) x ^ n, όπου το x είναι μια μεταβλητή, το n είναι ακέραιος και το C ( n) είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός για κάθε τιμή n. Για παράδειγμα, η σειρά ισχύος για τη συνάρτηση sine είναι Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., στο άπειρο. Εάν γνωρίζετε τη σειρά ισχύος για μια συνάρτηση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το παράγωγο της ισχύος x ^ n για να υπολογίσετε το παράγωγο της συνάρτησης. Για παράδειγμα, το παράγωγο του Sin (x) είναι ίσο με 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ / 720 + ...,
Παράγωγα από τους πίνακες
Τα παράγωγα των βασικών λειτουργιών, όπως οι δυνάμεις όπως το x ^ a, οι εκθετικές λειτουργίες, οι λειτουργίες καταγραφής και οι λειτουργίες trig, εντοπίζονται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο κλίσης / ορίου, τη μέθοδο σειράς ισχύος ή άλλες μεθόδους. Αυτά τα παράγωγα απαριθμούνται στη συνέχεια σε πίνακες. Για παράδειγμα, μπορείτε να αναζητήσετε ότι το παράγωγο του Sin (x) είναι το Cos (x). Όταν οι σύνθετες λειτουργίες είναι συνδυασμοί των βασικών λειτουργιών, χρειάζεστε ειδικούς κανόνες, όπως τον κανόνα της αλυσίδας και τον κανόνα του προϊόντος, οι οποίοι δίδονται επίσης στους πίνακες. Για παράδειγμα, χρησιμοποιείτε τον κανόνα της αλυσίδας για να διαπιστώσετε ότι το παράγωγο του Sin (x ^ 2) είναι 2xCos (x ^ 2). Χρησιμοποιείτε τον κανόνα του προϊόντος για να διαπιστώσετε ότι το παράγωγο του xSin (x) είναι xCos (x) + Sin (x). Χρησιμοποιώντας πίνακες και απλούς κανόνες, μπορείτε να βρείτε το παράγωγο οποιασδήποτε λειτουργίας. Αλλά όταν μια λειτουργία είναι εξαιρετικά περίπλοκη, οι επιστήμονες μερικές φορές καταφεύγουν σε προγράμματα ηλεκτρονικών υπολογιστών για βοήθεια.