Πώς να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές

Περιεχόμενο

• Πίνακες, ιδιοτιμές και αυτογενείς παράγοντες: Τι σημαίνουν
• Πώς να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές
• Συμβουλές
• Εύρεση ιδιογεφυρών

Όταν παρουσιάσετε μια μήτρα σε μια τάξη μαθηματικών ή φυσικών, θα σας ζητηθεί συχνά να βρείτε τις ιδιοτιμές της. Αν δεν είστε σίγουροι τι σημαίνει αυτό ή πώς να το κάνετε, το καθήκον είναι αποθαρρυντικό και περιλαμβάνει πολλές συγχυστικές ορολογίες που κάνουν τα πράγματα ακόμη χειρότερα. Ωστόσο, η διαδικασία υπολογισμού των ιδιοτιμών δεν είναι υπερβολική πρόκληση αν είστε ικανοποιημένοι με την επίλυση των τετραγωνικών (ή πολυωνυμικών) εξισώσεων, υπό την προϋπόθεση ότι μαθαίνετε τα βασικά των πινάκων, των ιδιοτιμών και των ιδίων ιδιοτήτων.

Πίνακες, ιδιοτιμές και αυτογενείς παράγοντες: Τι σημαίνουν

Τα πλέγματα είναι συστοιχίες αριθμών όπου το Α στέκεται για το όνομα μιας γενικής μήτρας, όπως αυτό:

( 1 3 )

ΕΝΑ = ( 4 2 )

Οι αριθμοί σε κάθε θέση ποικίλλουν και μπορεί να υπάρχουν και αλγεβρικές εκφράσεις στη θέση τους. Πρόκειται για μια μήτρα 2 × 2, αλλά έρχονται σε διάφορα μεγέθη και δεν έχουν πάντα ίσο αριθμό σειρών και στηλών.

Η ενασχόληση με τις μήτρες είναι διαφορετική από την αντιμετώπιση των συνήθων αριθμών και υπάρχουν ειδικοί κανόνες για τον πολλαπλασιασμό, τη διαίρεσή τους, την προσθήκη και αφαίρεση τους μεταξύ τους. Οι όροι "ιδιοτιμή" και "ιδιοκυρία" χρησιμοποιούνται στην άλγεβρα της μήτρας για να αναφέρονται σε δύο χαρακτηριστικές ποσότητες σε σχέση με τη μήτρα. Αυτό το πρόβλημα ιδιοτιμών σας βοηθά να καταλάβετε τι σημαίνει ο όρος:

ΕΝΑ ∙ v = λ ∙ v

ΕΝΑ είναι μια γενική μήτρα όπως πριν, v είναι ένας φορέας, και λ είναι μια χαρακτηριστική τιμή. Κοιτάξτε την εξίσωση και παρατηρήστε ότι όταν πολλαπλασιάζετε τη μήτρα με το διάνυσμα v, το αποτέλεσμα είναι να αναπαραχθεί ο ίδιος φορέας πολλαπλασιασμένος μόνο με την τιμή λ. Αυτή είναι ασυνήθιστη συμπεριφορά και κερδίζει τον φορέα v και η ποσότητα λ ειδικών ονομάτων: ο ιδιοκυρίαρχος και η ιδιοτιμή. Αυτές είναι οι χαρακτηριστικές τιμές της μήτρας διότι ο πολλαπλασιασμός της μήτρας με τον ιδιοδιανύτη αφήνει τον φορέα αμετάβλητο εκτός από τον πολλαπλασιασμό με έναν συντελεστή της ιδιοτιμής.

Πώς να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές

Εάν έχετε το πρόβλημα ιδιοτιμών για τη μήτρα σε κάποια μορφή, η εύρεση της ιδιοτιμής είναι εύκολη (επειδή το αποτέλεσμα θα είναι ένα διάνυσμα το ίδιο με το αρχικό, εκτός από το γεγονός ότι πολλαπλασιάζεται με έναν σταθερό παράγοντα - την ιδιοτιμή). Η απάντηση βρίσκεται με την επίλυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης της μήτρας:

det (ΕΝΑ – λΕγώ) = 0

Που Εγώ είναι ο πίνακας ταυτότητας, ο οποίος είναι κενός εκτός από μια σειρά 1s που τρέχουν διαγώνια κάτω από το πλέγμα. "Det" αναφέρεται στον προσδιοριστή της μήτρας, η οποία για μια γενική μήτρα:

(α β)

ΕΝΑ = (cd)

Δίνεται από

det ΕΝΑ = ad -bc

Έτσι, η χαρακτηριστική εξίσωση σημαίνει:

(α - λ β)

det (ΕΝΑ – λΕγώ) = (cd - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

Ως παράδειγμα μήτρας, ας καθορίσουμε ΕΝΑ όπως και:

( 0 1 )

ΕΝΑ = (−2 −3 )

Αυτό σημαίνει:

det (ΕΝΑ – λΕγώ) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0

= −λ (−3 – λ) + 2

= λ² + 3 λ + 2 = 0

Οι λύσεις για λ είναι οι ιδιοτιμές, και λύνετε αυτό σαν οποιαδήποτε τετραγωνική εξίσωση. Οι λύσεις είναι λ = - 1 και λ = - 2.

Συμβουλές

Εύρεση ιδιογεφυρών

Η εύρεση των ιδιοσκευών είναι μια παρόμοια διαδικασία. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση:

(ΕΝΑ – λ) ∙ v = 0

με κάθε μία από τις ιδιοτιμές που βρήκατε με τη σειρά. Αυτό σημαίνει:

(α - λ β) (v₁ ) (α - λ) v₁ + b v₂ (0)

(ΕΝΑ – λ) ∙ v = (cd - λ) ∙ (v₂ ) = c v₁ + (d-λ) ν₂ = (0)

Μπορείτε να το λύσετε λαμβάνοντας υπόψη κάθε σειρά με τη σειρά της. Χρειάζεται μόνο το λόγο του v₁ προς το v₂, επειδή θα υπάρξουν άπειρες δυνατότητες λύσης v₁ και v₂.