Η ευκλείδεια απόσταση είναι η απόσταση μεταξύ δύο σημείων στον ευκλείδειο χώρο. Ο ευκλείδειος χώρος σχεδιάστηκε αρχικά από τον Έλληνα μαθηματικό Ευκλείδη γύρω στις 300 π.Χ. να μελετήσουν τις σχέσεις μεταξύ γωνιών και αποστάσεων. Αυτό το σύστημα γεωμετρίας εξακολουθεί να χρησιμοποιείται σήμερα και είναι αυτό που οι μαθητές γυμνασίου μελετούν πιο συχνά. Η ευκλείδεια γεωμετρία εφαρμόζεται ειδικά σε χώρους δύο και τριών διαστάσεων. Ωστόσο, μπορεί εύκολα να γενικευθεί σε διαστάσεις υψηλότερης τάξης.
Υπολογίστε την απόσταση Euclidean για μια διάσταση. Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε μία διάσταση είναι απλώς η απόλυτη τιμή της διαφοράς μεταξύ των συντεταγμένων τους. Μαθηματικά, αυτό εμφανίζεται ως | p1 - q1 | όπου p1 είναι η πρώτη συντεταγμένη του πρώτου σημείου και q1 είναι η πρώτη συντεταγμένη του δεύτερου σημείου. Χρησιμοποιούμε την απόλυτη τιμή αυτής της διαφοράς, δεδομένου ότι η απόσταση θεωρείται κανονικά ότι έχει μόνο μη αρνητική τιμή.
Πάρτε δύο σημεία P και Q σε δισδιάστατο ευκλείδειο χώρο. Θα περιγράψουμε το P με τις συντεταγμένες (p1, p2) και Q με τις συντεταγμένες (q1, q2). Τώρα κατασκευάστε ένα τμήμα γραμμής με τα τελικά σημεία των Ρ και Q. Αυτό το τμήμα γραμμής θα σχηματίσει την υποτείνουσα ενός ορθού τριγώνου. Επεκτείνοντας τα αποτελέσματα που ελήφθησαν στο Βήμα 1, σημειώνουμε ότι τα μήκη των ποδιών αυτού του τριγώνου δίδονται από | p1 - q1 | και | p2 - q2 |. Η απόσταση μεταξύ των δύο σημείων θα δίνεται στη συνέχεια ως το μήκος της υποτείνουσας.
Χρησιμοποιήστε το θεώρημα Pythagorean για να καθορίσετε το μήκος της υποτείνουσας στο Βήμα 2. Αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 όπου c είναι το μήκος μιας ορθοσταθούς ορθογωνίων τριγώνων και a, b είναι τα μήκη του άλλου δύο πόδια. Αυτό μας δίνει c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Η απόσταση μεταξύ 2 σημείων P = (p1, p2) και Q = (q1, q2) σε δισδιάστατο χώρο είναι ως εκ τούτου ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^.
Επεκτείνετε τα αποτελέσματα του Βήματος 3 σε τρισδιάστατο χώρο. Η απόσταση μεταξύ των σημείων Ρ = (ρ1, ρ2, ρ3) και Q = (q1, q2, q3) μπορεί στη συνέχεια να δοθεί ως ((p1-q1) ^ 2+ (p2-q2) ^ 2) ^ (1/2).
Γενικεύστε τη λύση στο Βήμα 4 για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων P = (p1, p2, ..., pn) και Q = (q1, q2, ..., qn) σε n διαστάσεις. Αυτό το γενικό διάλυμα μπορεί να δοθεί ως ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + ... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).