Περιεχόμενο
- Πόσες ρίζες;
- Προειδοποιήσεις
- Βρείτε τις ρίζες με Factoring: Παράδειγμα 1
- Βρείτε τις ρίζες από το Factoring: Παράδειγμα 2
- Βρείτε τις ρίζες με το γράψιμο
Οι ρίζες ενός πολυωνύμου αποκαλούνται επίσης τα μηδενικά του, επειδή οι ρίζες είναι οι ρίζες Χ τιμές στις οποίες η συνάρτηση ισούται με το μηδέν. Όταν πρόκειται για την εύρεση των ριζών, έχετε πολλές τεχνικές στη διάθεσή σας. factoring είναι η μέθοδος που χρησιμοποιείτε πιο συχνά, αν και η γραφική παράσταση μπορεί να είναι χρήσιμη επίσης.
Πόσες ρίζες;
Εξετάστε το ανώτατο όριο του πολυώνυμου - δηλαδή, τον όρο με τον υψηλότερο εκθέτη. Αυτός ο εκθέτης είναι πόσες ρίζες θα έχει το πολυώνυμο. Αν λοιπόν ο υψηλότερος εκθέτης στο πολυώνυμό σας είναι 2, τότε θα έχει δύο ρίζες. εάν ο υψηλότερος εκθέτης είναι 3, ο ίδιος έχει τρεις ρίζες. και ούτω καθεξής.
Προειδοποιήσεις
Βρείτε τις ρίζες με Factoring: Παράδειγμα 1
Ο πιο ευπροσάρμοστος τρόπος εύρεσης ριζών είναι ο συντελεστής όσο το δυνατόν περισσότερο το πολυώνυμο σας, και στη συνέχεια ο καθορισμός κάθε όρου ίσου με το μηδέν. Αυτό έχει πολύ μεγαλύτερη σημασία από τη στιγμή που ακολουθήσατε μερικά παραδείγματα. Εξετάστε το απλό πολυώνυμο Χ2 - 4_x: _
Μια σύντομη εξέταση δείχνει ότι μπορείτε να το κάνετε Χ από τους δύο όρους του πολυωνύμου, που σας δίνει:
Χ(Χ – 4)
Ορίστε κάθε όρο στο μηδέν. Αυτό σημαίνει επίλυση για δύο εξισώσεις:
Χ = 0 είναι ο πρώτος όρος που έχει οριστεί στο μηδέν, και
Χ - 4 = 0 είναι ο δεύτερος όρος που έχει οριστεί στο μηδέν.
Έχετε ήδη τη λύση στον πρώτο όρο. Αν Χ = 0, τότε ολόκληρη η έκφραση ισούται με το μηδέν. Έτσι Χ = 0 είναι μία από τις ρίζες, ή μηδενικά, του πολυωνύμου.
Τώρα, εξετάστε το δεύτερο όρο και λύστε το Χ. Εάν προσθέσετε 4 και στις δύο πλευρές θα έχετε:
Χ - 4 + 4 = 0 + 4, η οποία απλοποιεί:
Χ = 4. Έτσι εάν Χ = 4 τότε ο δεύτερος παράγοντας είναι ίσος με μηδέν, που σημαίνει ότι ολόκληρο το πολυώνυμο ισούται με μηδέν.
Επειδή το αρχικό πολυώνυμο ήταν του δεύτερου βαθμού (ο υψηλότερος εκθέτης ήταν δύο), ξέρετε ότι υπάρχουν μόνο δύο πιθανές ρίζες για αυτό το πολυώνυμο. Έχετε ήδη βρεθεί και τα δύο, οπότε το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να τα καταγράψετε:
Χ = 0, Χ = 4
Βρείτε τις ρίζες από το Factoring: Παράδειγμα 2
Υπάρχει ένα ακόμη παράδειγμα για το πώς να βρούμε τις ρίζες με factoring, χρησιμοποιώντας κάποια φανταστική άλγεβρα στην πορεία. Εξετάστε το πολυώνυμο Χ4 - 16. Μια γρήγορη ματιά στους εκθέτες της δείχνει ότι πρέπει να υπάρχουν τέσσερις ρίζες για αυτό το πολυώνυμο. τώρα είναι καιρός να τα βρούμε.
Παρατήρησα ότι αυτό το πολυώνυμο μπορεί να ξαναγραφεί ως η διαφορά τετραγώνων; Έτσι αντί για Χ4 - 16, έχετε:
(Χ2)2 – 42
Που, χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη διαφορά τετραγώνων, παράγουν τα εξής στοιχεία:
(Χ2 – 4)(Χ2 + 4)
Ο πρώτος όρος είναι, πάλι, μια διαφορά τετραγώνων. Επομένως, παρόλο που δεν μπορείτε να παράγετε τον όρο στα δεξιά, μπορείτε να παραθέσετε τον όρο στα αριστερά ένα ακόμη βήμα:
(Χ – 2)(Χ + 2)(Χ2 + 4)
Τώρα είναι καιρός να βρούμε τα μηδενικά. Γίνεται γρήγορα σαφές ότι εάν Χ = 2, ο πρώτος παράγοντας θα είναι μηδέν, και έτσι ολόκληρη η έκφραση θα είναι μηδέν.
Ομοίως, εάν Χ = -2, ο δεύτερος παράγοντας θα είναι ίσος με μηδέν και έτσι θα ισχύει ολόκληρη η έκφραση.
Έτσι Χ = 2 και Χ = -2 είναι και τα δύο μηδενικά ή ρίζες αυτού του πολυώνυμου.
Αλλά τι γίνεται με αυτήν την τελευταία θητεία; Επειδή έχει έναν "2" εκθέτη, θα πρέπει να έχει δύο ρίζες. Αλλά λοξοτομείτε παράγοντας αυτή την έκφραση χρησιμοποιώντας τους πραγματικούς αριθμούς που συνηθίζατε. Θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε μια πολύ προηγμένη μαθηματική έννοια που ονομάζεται φανταστικός αριθμοί ή, αν προτιμάτε, σύνθετους αριθμούς. Αυτός είναι πολύ πέρα από το πεδίο εφαρμογής της τρέχουσας πρακτικής μαθηματικών σας, οπότε για αρκετό καιρό αρκεί να σημειώσετε ότι έχετε δύο πραγματικές ρίζες (2 και -2) και δύο φανταστικές ρίζες που θα αφήσετε απροσδιόριστη.
Βρείτε τις ρίζες με το γράψιμο
Μπορείτε επίσης να βρείτε, ή τουλάχιστον να εκτιμήσετε, τις ρίζες με γραφική παράσταση. Κάθε ρίζα αντιπροσωπεύει ένα σημείο όπου το γράφημα της συνάρτησης διασχίζει το Χ άξονας. Έτσι, αν γράψετε τη γραμμή και στη συνέχεια σημειώσετε τη γραμμή Χ συντεταγμένες όπου η γραμμή διασχίζει Χ μπορείτε να εισαγάγετε την εκτιμώμενη τιμή Χ τιμές αυτών των σημείων στην εξίσωση σας και ελέγξτε για να δείτε αν τους έχετε πάρει σωστές.
Εξετάστε το πρώτο παράδειγμα που χρησιμοποιήσατε για το πολυώνυμο Χ2 - 4_x_. Εάν το τραβήξετε προσεκτικά, θα δείτε ότι η γραμμή διασχίζει Χ άξονα σε Χ = 0 και Χ = 4. Αν εισάγετε καθεμία από αυτές τις τιμές στην αρχική εξίσωση, θα πάρετε:
02 - 4 (0) = 0, έτσι Χ = 0 ήταν ένα μηδέν ή ρίζα που ισχύει για αυτό το πολυώνυμο.
42 - 4 (4) = 0, έτσι Χ = 4 είναι επίσης ένα έγκυρο μηδέν ή ρίζα για αυτό το πολυώνυμο. Και επειδή το πολυώνυμο ήταν του βαθμού 2, ξέρετε ότι μπορείτε να σταματήσετε να ψάχνετε μετά από να βρείτε δύο ρίζες.