Τι σημαίνει το Ε στο μαθηματικό;

Περιεχόμενο

• Ε στην Επιστημονική Σημείωση και την έννοια του 1Ε6
• Πού είναι ο Eulers Number, e, Ελάτε;
• Αριθμός Eulers στη φύση

Το γράμμα Ε μπορεί να έχει δύο διαφορετικές σημασίες στα μαθηματικά, ανάλογα με το αν είναι κεφαλαίο Ε ή πεζά ε. Συνήθως βλέπετε το κεφάλαιο Ε σε μια αριθμομηχανή, όπου αυτό σημαίνει να αυξήσετε τον αριθμό που έρχεται μετά από αυτό σε μια δύναμη 10. Για παράδειγμα, 1E6 θα έμεναν για 1 x 10⁶, ή 1 εκατομμύριο. Κανονικά, η χρήση του E είναι αποκλειστικά για αριθμούς που θα ήταν πολύ μακρύς για να εμφανιστούν στην οθόνη αριθμομηχανής αν γράφτηκαν μακρινά.

Οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν το πεζά γράμματα e για έναν πολύ πιο ενδιαφέροντα σκοπό - για να δηλώσουν τον αριθμό Eulers. Αυτός ο αριθμός, όπως ο π, είναι ένας παράλογος αριθμός, επειδή έχει ένα μη επαναλαμβανόμενο δεκαδικό που εκτείνεται στο άπειρο. Όπως ένας παράλογος άνθρωπος, ένας παράλογος αριθμός φαίνεται να μην έχει νόημα, αλλά ο αριθμός που δηλώνει δεν χρειάζεται να έχει νόημα να είναι χρήσιμος. Στην πραγματικότητα, είναι ένας από τους πιο χρήσιμους αριθμούς στα μαθηματικά.

Ε στην Επιστημονική Σημείωση και την έννοια του 1Ε6

Δεν χρειάζεστε μια αριθμομηχανή για να χρησιμοποιήσετε το E για να εκφράσετε έναν αριθμό στην επιστημονική σημείωση. Μπορείτε απλά να αφήσετε το E για τη ρίζα βάσης ενός εκθέτη, αλλά μόνο όταν η βάση είναι 10. Δεν θα χρησιμοποιούσατε το Ε για να σταθείτε στη βάση 8, 4 ή οποιαδήποτε άλλη βάση, ειδικά αν η βάση είναι Eulers, π.χ.

Όταν χρησιμοποιείτε το E με αυτόν τον τρόπο, γράφετε τον αριθμό xEy, όπου το x είναι το πρώτο σύνολο ακεραίων στον αριθμό και το y είναι ο εκθέτης. Για παράδειγμα, θα γράψετε τον αριθμό 1 εκατομμύριο ως 1Ε6. Σε τακτικές επιστημονικές σημειώσεις, αυτό είναι 1 × 10⁶, ή 1 ακολουθούμενο από 6 μηδενικά. Ομοίως 5 εκατομμύρια θα ήταν 5Ε6, και 42.732 θα ήταν 4.27E4.Όταν γράφετε έναν αριθμό στην επιστημονική σημείωση, είτε χρησιμοποιείτε το Ε είτε όχι, συνήθως στρογγυλοποιείται σε δύο δεκαδικά ψηφία.

Πού είναι ο Eulers Number, e, Ελάτε;

Ο αριθμός που παριστάνεται από το e ανακαλύφθηκε από τον μαθηματικό Leonard Euler ως λύση σε ένα πρόβλημα που θέτει ένας άλλος μαθηματικός, Jacob Bernoulli, 50 χρόνια νωρίτερα. Το πρόβλημα του Bernoullis ήταν οικονομικό.

Ας υποθέσουμε ότι βάζετε 1.000 δολάρια σε μια τράπεζα που πληρώνει 100% ετήσιο σύνθετο επιτόκιο και αφήστε το εκεί για ένα χρόνο. Θα έχετε 2.000 δολάρια. Τώρα υποθέστε ότι το επιτόκιο είναι το μισό, αλλά η τράπεζα το πληρώνει δύο φορές το χρόνο. Στο τέλος ενός έτους, θα έχετε $ 2.250. Ας υποθέσουμε ότι η τράπεζα κατέβαλε μόνο το 8,33%, δηλαδή το 1/12 από το 100%, αλλά το πλήρωσε 12 φορές το χρόνο. Στο τέλος του έτους, έχετε $ 2.613. Η γενική εξίσωση για αυτή την εξέλιξη είναι (1 + r / n)ⁿ, όπου r είναι 1 και n είναι η περίοδος πληρωμής.

Αποδεικνύεται ότι, καθώς το n πλησιάζει το άπειρο, το αποτέλεσμα γίνεται όλο και πιο κοντά στο e, το οποίο είναι 2.7182818284 με 10 δεκαδικά ψηφία. Έτσι το ανακάλυψε η Euler. Η μέγιστη απόδοση που θα μπορούσατε να πάρετε σε μια επένδυση $ 1.000 σε ένα έτος θα ήταν $ 2.718.

Αριθμός Eulers στη φύση

Οι εκθέτες με το e ως βάση είναι γνωστοί ως φυσικοί εκθέτες και εδώ είναι ο λόγος. Εάν σχεδιάσετε ένα γράφημα y = e^Χ, θα πάρετε μια καμπύλη που αυξάνεται εκθετικά, ακριβώς όπως θα κάνατε εάν σχεδιάσατε την καμπύλη με βάση 10 ή οποιοδήποτε άλλο αριθμό. Ωστόσο, η καμπύλη y = e^Χ έχει δύο ειδικές ιδιότητες. Για οποιαδήποτε τιμή x, η τιμή του y ισούται με την τιμή της κλίσης του γραφήματος σε εκείνο το σημείο και είναι επίσης ίση με την περιοχή κάτω από την καμπύλη έως εκείνο το σημείο. Αυτό κάνει έναν ιδιαίτερα σημαντικό αριθμό στον λογισμό και σε όλους τους τομείς της επιστήμης που χρησιμοποιούν τον λογισμό.

Η λογαριθμική σπείρα, η οποία αντιπροσωπεύεται από την εξίσωση r = ae^βθ, βρίσκεται σε όλη τη φύση, σε κοχύλια, απολιθώματα και λουλούδια. Επιπλέον, εμφανίζεται σε πολλά επιστημονικά μειονεκτήματα, συμπεριλαμβανομένων των μελετών των ηλεκτρικών κυκλωμάτων, των νόμων θέρμανσης και ψύξης και της απόσβεσης της άνοιξης. Παρόλο που ανακαλύφθηκε πριν από 350 χρόνια, οι επιστήμονες εξακολουθούν να βρίσκουν νέα παραδείγματα αριθμών Eulers στη φύση.