Περιεχόμενο
- Τι είναι ένας παράγοντας;
- Εύρεση του μεγαλύτερου κοινού παράγοντα: Μέθοδος ένα
- Εύρεση του μεγαλύτερου κοινού παράγοντα: Μέθοδος δύο
- Απλοποίηση τμημάτων με κοινούς παράγοντες
Η εύρεση του μεγαλύτερου κοινού παράγοντα, ή GCF, δύο αριθμών είναι χρήσιμη σε πολλές περιπτώσεις στα μαθηματικά, αλλά ιδιαίτερα όταν πρόκειται για την απλοποίηση των κλασμάτων. Εάν αγωνίζεστε με αυτό ή βρίσκετε κοινούς παρονομαστές, η μάθηση δύο μεθόδων για την εξεύρεση κοινών παραγόντων θα σας βοηθήσει να επιτύχετε αυτό που θέτετε να κάνετε. Πρώτον, είναι μια καλή ιδέα να μάθετε τα βασικά στοιχεία των παραγόντων. τότε μπορείτε να εξετάσετε δύο προσεγγίσεις για την εξεύρεση κοινών παραγόντων. Τέλος, μπορείτε να δείτε πώς να εφαρμόσετε τις γνώσεις σας για να απλοποιήσετε ένα κλάσμα.
Τι είναι ένας παράγοντας;
Οι παράγοντες είναι οι αριθμοί που πολλαπλασιάζετε μαζί για να παράγετε έναν άλλο αριθμό. Για παράδειγμα, 2 και 3 είναι συντελεστές 6, επειδή 2 × 3 = 6. Ομοίως, 3 και 3 είναι συντελεστές 9, επειδή 3 × 3 = 9. Όπως ίσως γνωρίζετε, οι πρώτοι αριθμοί είναι αριθμοί που δεν έχουν άλλους παράγοντες οι ίδιοι και 1. Έτσι 3 είναι ένας πρώτος αριθμός, επειδή οι μόνοι δύο ολόκληροι αριθμοί (ακέραιοι) που μπορούν να πολλαπλασιάζονται μαζί για να δώσουν 3 ως απάντηση είναι 3 και 1. Με τον ίδιο τρόπο, 7 είναι ένας πρωταρχικός αριθμός, και έτσι είναι 13 .
Εξαιτίας αυτού, είναι συχνά χρήσιμο να κατακερματιστεί ένας αριθμός σε "πρωταρχικούς παράγοντες". Αυτό σημαίνει εύρεση όλων των πρωταρχικών αριθμών παραγόντων ενός άλλου αριθμού. Διαλύει ουσιαστικά τον αριθμό στα βασικά "δομικά στοιχεία" του, το οποίο είναι ένα χρήσιμο βήμα προς την εξεύρεση του μεγαλύτερου κοινού παράγοντα δύο αριθμών και είναι επίσης ανεκτίμητο όταν πρόκειται για την απλούστευση των τετραγωνικών ριζών.
Εύρεση του μεγαλύτερου κοινού παράγοντα: Μέθοδος ένα
Η απλούστερη μέθοδος για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού παράγοντα δύο αριθμών είναι η απλή λίστα όλων των παραγόντων του κάθε αριθμού και η αναζήτηση για τον υψηλότερο αριθμό που μοιράζονται και οι δύο. Φανταστείτε ότι θέλετε να βρείτε τον υψηλότερο κοινό συντελεστή 45 και 60. Αρχικά, κοιτάξτε τους διαφορετικούς αριθμούς που μπορείτε να πολλαπλασιάσετε μαζί για να παράγετε 45.
Ο ευκολότερος τρόπος για να ξεκινήσετε είναι με τους δύο που γνωρίζετε ότι θα λειτουργήσει, ακόμα και για έναν πρωταρχικό αριθμό. Σε αυτή την περίπτωση, γνωρίζουμε 1 × 45 = 45, οπότε γνωρίζουμε ότι 1 και 45 είναι συντελεστές 45. Πρόκειται για τον πρώτο και τελευταίο παράγοντα των 45, οπότε μπορείτε απλά να συμπληρώσετε από εκεί. Στη συνέχεια, εξετάστε αν ο παράγοντας 2 είναι ένας παράγοντας. Αυτό είναι εύκολο, επειδή οποιοσδήποτε ζυγός αριθμός θα διαιρείται με 2, και οποιοσδήποτε περίεργος αριθμός δεν θα είναι. Γνωρίζουμε λοιπόν ότι 2 δεν είναι παράγοντας 45. Τι γίνεται με το 3; Θα πρέπει να είστε σε θέση να παρατηρήσετε ότι το 3 είναι συντελεστής 45, επειδή 3 × 15 = 45 (μπορείτε πάντα να βασιστείτε σε αυτό που γνωρίζετε να το κάνετε αυτό, για παράδειγμα, θα ξέρετε ότι 3 × 12 = 36, και προσθέτοντας τρία σε αυτό σας οδηγεί σε 45).
Έπειτα, είναι 4 ένας παράγοντας 45; Όχι - ξέρετε 11 × 4 = 44, οπότε δεν μπορεί να είναι! Στη συνέχεια, τι γίνεται με 5; Αυτό είναι ένα άλλο εύκολο, επειδή οποιοσδήποτε αριθμός που τελειώνει στο 0 ή 5 διαιρείται με 5. Και με αυτό, μπορείτε εύκολα να εντοπίσετε ότι 5 × 9 = 45. Αλλά το 6 δεν είναι καλό γιατί 7 × 6 = 42 και 8 × 6 = 48. Από αυτό μπορείτε επίσης να δείτε ότι οι 7 και 8 δεν είναι παράγοντες των 45. Γνωρίζουμε ήδη ότι είναι 9 και είναι εύκολο να δούμε ότι τα 10 και τα 11 δεν είναι παράγοντες. Συνεχίστε αυτή τη διαδικασία και θα παρατηρήσετε ότι οι 15 είναι ένας παράγοντας, αλλά τίποτα άλλο δεν είναι.
Έτσι, οι συντελεστές των 45 είναι: 1, 3, 5, 9, 15 και 45.
Για 60, τρέχετε την ίδια ακριβώς διαδικασία. Αυτή τη φορά ο αριθμός είναι ομαλός (έτσι ξέρετε 2 είναι ένας παράγοντας) και διαιρείται με 10 (έτσι οι 5 και 10 είναι και οι δύο παράγοντες), πράγμα που κάνει τα πράγματα λίγο πιο εύκολο. Αφού περάσετε ξανά τη διαδικασία, πρέπει να δείτε ότι οι συντελεστές των 60 είναι: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 και 60.
Συγκρίνοντας τους δύο καταλόγους δείχνει ότι ο 15 είναι ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας των 45 και 60. Αυτή η μέθοδος μπορεί να είναι χρονοβόρα, αλλά είναι απλή και πάντα θα λειτουργήσει. Μπορείτε επίσης να ξεκινήσετε από οποιονδήποτε υψηλό κοινό παράγοντα που μπορείτε να εντοπίσετε αμέσως και στη συνέχεια απλά να αναζητήσετε υψηλότερους παράγοντες για κάθε αριθμό.
Εύρεση του μεγαλύτερου κοινού παράγοντα: Μέθοδος δύο
Η δεύτερη μέθοδος εύρεσης του GCF για δύο αριθμούς είναι η χρήση πρωτευόντων παραγόντων. Η διαδικασία της πρώτης παραγοντοποίησης είναι λίγο πιο εύκολη και πιο δομημένη από την εξεύρεση κάθε παράγοντα. Ας περάσουμε τη διαδικασία για τις 42 και 63.
Η διαδικασία της πρώτης παραγοντοποίησης βασικά συνεπάγεται το σπάσιμο του αριθμού κάτω μέχρι να μείνει μόνο με πρωταρχικούς αριθμούς. Είναι καλύτερο να ξεκινήσετε με τις μικρότερες πρώτες (δύο) και να δουλέψετε από εκεί. Έτσι για 42, είναι εύκολο να δούμε ότι 2 × 21 = 42. Στη συνέχεια, εργάζονται από 21: Είναι 2 ένας παράγοντας; Όχι είναι 3; Ναί! 3 × 7 = 21 και οι 3 και 7 είναι και οι δύο πρωταρχικοί αριθμοί. Αυτό σημαίνει ότι οι πρωταρχικοί συντελεστές των 42 είναι 2, 3 και 7. Το πρώτο "σπάσιμο" που χρησιμοποιήθηκε 2 για να φτάσετε στο 21, και το δεύτερο έσπασε αυτό στα 3 και 7. Μπορείτε να το ελέγξετε πολλαπλασιάζοντας όλους τους παράγοντες σας και ελέγχοντας παίρνετε τον αρχικό αριθμό: 2 × 3 × 7 = 42.
Για 63, 2 δεν είναι ένας παράγοντας, αλλά 3 είναι, επειδή 3 × 21 = 63. Και πάλι, 21 χωρίζει σε 3 και 7 - και οι δύο πρώτες - έτσι ξέρετε τους πρωταρχικούς παράγοντες! Ο έλεγχος δείχνει ότι 3 × 3 × 7 = 63, όπως απαιτείται.
Βρίσκετε τον υψηλότερο κοινό παράγοντα εξετάζοντας ποιοι πρωταρχικοί παράγοντες έχουν οι δύο αριθμοί κοινό. Στην περίπτωση αυτή, 42 έχουν 2, 3 και 7, και 63 έχουν 3, 3 και 7. Έχουν 3 και 7 κοινά. Για να βρείτε τον υψηλότερο κοινό παράγοντα, πολλαπλασιάστε όλους τους κοινούς πρωταρχικούς παράγοντες μαζί. Στην περίπτωση αυτή, 3 × 7 = 21, έτσι 21 είναι ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας των 42 και 63.
Το προηγούμενο παράδειγμα μπορεί να επιλυθεί και πιο γρήγορα με αυτόν τον τρόπο. Επειδή το 45 διαιρείται με τρία (3 × 15 = 45) και το 15 διαιρείται με τρία (3 × 5 = 15), οι πρωταρχικοί συντελεστές των 45 είναι 3, 3 και 5. Για 60, διαιρείται με δύο Χ 30 = 60), 30 είναι διαιρούμενο με δύο (2 × 15 = 30), και τότε μένετε με 15, κάτι που γνωρίζουμε ότι έχουν τρεις και πέντε ως πρωταρχικούς παράγοντες, αφήνοντας 2, 2, 3 και 5. Συγκρίνοντας τους δύο καταλόγους, τα τρία και τα πέντε είναι τα κοινά πρωταρχικά στοιχεία, οπότε ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας είναι 3 × 5 = 15.
Σε περίπτωση που υπάρχουν τρεις ή περισσότεροι κοινά πρωταρχικοί παράγοντες, πολλαπλασιάζετε όλα μαζί με τον ίδιο τρόπο για να βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα.
Απλοποίηση τμημάτων με κοινούς παράγοντες
Εάν σας παρουσιάσει ένα κλάσμα όπως το 32/96, μπορεί να κάνει οποιονδήποτε υπολογισμό που έρχεται μετά από πολύ περίπλοκο αν δεν μπορείτε να εντοπίσετε έναν τρόπο απλοποίησης του κλάσματος. Η εύρεση του χαμηλότερου κοινού συντελεστή 32 και 96 θα σας πει τον αριθμό για να διαιρέσετε και τα δύο, για να πάρετε ένα απλούστερο κλάσμα. Σε αυτήν την περίπτωση:
32 = 2 × 16
16 = 2 × 2 × 2 × 2
Έτσι 32 = 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Για το 96, η διαδικασία δίνει:
96 = 48 × 2
48 = 24 × 2
24 = 12 × 2
12 = 6 × 2
6 = 3 × 2
Έτσι 96 = 25 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Πρέπει να είναι σαφές ότι 25 = 32 είναι ο υψηλότερος κοινός παράγοντας. Ο διαχωρισμός και των δύο τμημάτων του κλάσματος κατά 32 δίνει:
32/96 = 1/3
Η εύρεση κοινών παρανομαστών είναι μια παρόμοια διαδικασία. Φανταστείτε ότι έπρεπε να προσθέσετε τα κλάσματα 15/45 και 40/60. Γνωρίζουμε από το πρώτο παράδειγμα ότι ο 15 είναι ο υψηλότερος κοινός παράγοντας των 45 και 60, επομένως μπορούμε να τα εκφράσουμε αμέσως ως 5/15 και 10/15. Δεδομένου ότι 3 × 5 = 15, και οι δύο αριθμητές διαιρούνται επίσης με πέντε, μπορούμε να διαιρέσουμε και τα δύο μέρη και των δύο κλασμάτων με πέντε για να πάρουμε 1/3 και 2/3. Τώρα είναι πολύ πιο εύκολο να προσθέσετε και να δείτε ότι 15/45 + 40/60 = 1.