Πώς να το Τέλειο τετράγωνο Trinomials

Περιεχόμενο

• Προσδιορισμός τέλειων τετραγωνικών πλαγιών
• Factoring ένα τέλειο τετράγωνο τετράγωνο

Μόλις ξεκινήσετε την επίλυση των αλγεβρικών εξισώσεων που περιλαμβάνουν πολυώνυμα, η ικανότητα αναγνώρισης ειδικών, εύκολα υπολογιζόμενων μορφών πολυωνύμων καθίσταται πολύ χρήσιμη. Ένα από τα πιο χρήσιμα πολυωνύμια "εύκολου παράγοντα" είναι το τέλειο τετράγωνο ή το τρινωμικό που προκύπτει από το τετράγωνο ενός διωνυμικού. Μόλις εντοπίσετε ένα τέλειο τετράγωνο, η ενσωμάτωσή του στα μεμονωμένα συστατικά του είναι συχνά ένα σημαντικό μέρος της διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων.

Προσδιορισμός τέλειων τετραγωνικών πλαγιών

Προτού να μπορέσετε να παράγετε ένα τέλειο τετραγωνικό τετράγωνο, πρέπει να το μάθετε να το αναγνωρίζετε. Ένα τέλειο τετράγωνο μπορεί να λάβει οποιαδήποτε από τις δύο μορφές:

Μερικά παραδείγματα τέλειων τετραγώνων που μπορεί να δείτε στον "πραγματικό κόσμο" των μαθηματικών προβλημάτων περιλαμβάνουν:

Ποιο είναι το κλειδί για την αναγνώριση αυτών των τέλειων τετραγώνων;

Ελέγξτε τον πρώτο και τον τρίτο όρο της τριωνίας. Είναι και τα δύο τετράγωνα; Αν ναι, καταλάβετε τι είναι τετράγωνα. Για παράδειγμα, στο δεύτερο παράδειγμα "πραγματικού κόσμου" που δόθηκε παραπάνω, y² - 2_y_ + 1, ο όρος y² είναι προφανώς το τετράγωνο του y. Ο όρος 1 είναι, ίσως λιγότερο προφανώς, το τετράγωνο του 1, επειδή 1² = 1.

Πολλαπλασιάστε τις ρίζες του πρώτου και του τρίτου όρου μαζί. Για να συνεχίσετε το παράδειγμα, αυτό είναι y και 1, που σας δίνει y × 1 = 1_y_ ή απλά y.




Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε το προϊόν σας με 2. Συνεχίζοντας το παράδειγμα, έχετε 2_y._

Τέλος, συγκρίνετε το αποτέλεσμα του τελευταίου βήματος με το μεσαίο όριο του πολυωνύμου. Μήπως ταιριάζουν; Στο πολυώνυμο y² - 2_y_ + 1, το κάνουν. (Το σύμβολο είναι άσχετο · θα είναι επίσης ένας αγώνας εάν ο μεσοπρόθεσμος όρος ήταν + 2_y_.)

Επειδή η απάντηση στο Βήμα 1 ήταν "ναι" και το αποτέλεσμά σας από το Βήμα 2 ταιριάζει με το μεσαίο όρο του πολυωνύμου, ξέρετε ότι ψάχνετε ένα τέλειο τριγωνικό τετράγωνο.

Factoring ένα τέλειο τετράγωνο τετράγωνο

Μόλις ξέρετε ότι κοιτάζετε ένα τέλειο τετραγωνικό τετράγωνο, η διαδικασία του factoring είναι αρκετά απλή.

Προσδιορίστε τις ρίζες ή τους τετραγωνικούς αριθμούς στον πρώτο και τον τρίτο όρο του τρινομίου. Εξετάστε ένα άλλο από τα παραδείγματα τρινόμαλλων που γνωρίζετε ήδη ότι είναι ένα τέλειο τετράγωνο, Χ² + 8_x_ + 16. Προφανώς ο αριθμός που τετράγωνο στον πρώτο όρο είναι Χ. Ο αριθμός που τετραγωνίζεται στον τρίτο όρο είναι 4, επειδή 4² = 16.




Σκεφτείτε πίσω τους τύπους για τέλεια τετραγωνικά τετράγωνα. Γνωρίζετε ότι οι παράγοντες σας θα λάβουν είτε τη μορφή (ένα + σι)(ένα + σι) ή τη μορφή (ένα – σι)(ένα – σι), που ένα και σι οι αριθμοί είναι τετράγωνο στον πρώτο και τρίτο όρο. Έτσι, μπορείτε να γράψετε τους παράγοντες σας έτσι, παραλείποντας τα σημάδια στη μέση κάθε όρου για τώρα:

(ένα ? σι)(ένα ? σι) = ένα² ; 2_ab_ + σι²

Για να συνεχίσετε το παράδειγμα υποκαθιστώντας τις ρίζες του τρέχοντος τρινωμικού σας, έχετε:

(Χ ? 4)(Χ ? 4) = Χ² + 8_x_ + 16

Ελέγξτε το μεσαίο όρο του τριωνικού. Έχει ένα θετικό σύμβολο ή ένα αρνητικό σύμβολο (ή, για να το θέσω με άλλο τρόπο, προστίθεται ή αφαιρείται); Εάν έχει θετικό πρόσημο (ή προστίθεται), τότε και οι δύο παράγοντες της τρινομικής έχουν ένα σύμβολο συν στη μέση. Εάν έχει αρνητικό σύμβολο (ή έχει αφαιρεθεί), και οι δύο παράγοντες έχουν αρνητικό σημάδι στη μέση.

Ο μεσοπρόθεσμος όρος του τρέχοντος παραδείγματος trinomial είναι 8_x_ - θετικό - έτσι youve τώρα υπολογίζεται το τέλειο τετράγωνο τετράγωνο:

(Χ + 4)(Χ + 4) = Χ² + 8_x_ + 16

Ελέγξτε την εργασία σας πολλαπλασιάζοντας τους δύο παράγοντες μαζί. Εφαρμόζοντας το FOIL ή την πρώτη, εξωτερική, εσωτερική, τελευταία μέθοδο σας δίνει:

Χ² + 4_x_ + 4_x_ + 16

Η απλοποίηση αυτού δίνει το αποτέλεσμα Χ² + 8_x_ + 16, το οποίο ταιριάζει με το τρινωμικό σας. Έτσι, οι παράγοντες είναι σωστοί.