Περιεχόμενο
- Βρείτε την κεντρική γωνία από το μήκος και το περίγραμμα του τόξου
- Βρείτε την κεντρική γωνία από το μήκος και την ακτίνα του τόξου
- Το Θεώρημα Κεντρικής Γωνίας
- Εξαίρεση στο Θεώρημα της Κεντρικής Γωνίας
- Απεικονίζω
Φανταστείτε ότι στέκεστε στη μέση μιας τέλεια κυκλικής αρένας. Κοιτάζετε προς τα πλήθη κατά μήκος των πλευρών της αρένας και εντοπίζετε τον καλύτερο φίλο σας σε ένα κάθισμα και τον καθηγητή μαθηματικών μαθημάτων στη μέση σχολή σας. Ποια είναι η απόσταση μεταξύ τους και σας; Πόσο μακριά θα πρέπει να περπατήσετε για να ταξιδέψετε από τη θέση των φίλων σας στο κάθισμα των εκπαιδευτικών σας; Ποια είναι τα μέτρα των γωνιών μεταξύ σας; Αυτές είναι όλες οι ερωτήσεις που σχετίζονται με τις κεντρικές γωνίες.
ΕΝΑ επίκεντρη γωνία είναι η γωνία που σχηματίζεται όταν δύο ακτίνες τραβιούνται από το κέντρο του κύκλου στις άκρες του. Σε αυτό το παράδειγμα, οι δύο ακτίνες είναι οι δύο όψεις σας από εσάς, στο κέντρο της αρένας, στον φίλο σας, και τη δική σας οπτική επαφή με τον δάσκαλό σας. Η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ αυτών των δύο γραμμών είναι η κεντρική γωνία. Η γωνία της είναι πιο κοντά στο κέντρο του κύκλου.
Ο φίλος και ο δάσκαλός σας κάθεται κατά μήκος του περιφέρεια ή τις άκρες του κύκλου. Το μονοπάτι κατά μήκος της αρένας που τους συνδέει είναι ένα τόξο.
Βρείτε την κεντρική γωνία από το μήκος και το περίγραμμα του τόξου
Υπάρχουν μερικές εξισώσεις που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε για να βρείτε την κεντρική γωνία. Μερικές φορές θα πάρετε το μήκος τόξου, την απόσταση κατά μήκος της περιφέρειας μεταξύ δύο σημείων. (Στο παράδειγμα, αυτή είναι η απόσταση που θα πρέπει να περπατήσετε γύρω από την αρένα για να φτάσετε από τον φίλο σας στον δάσκαλό σας.) Η σχέση μεταξύ κεντρικής γωνίας και μήκους τόξου είναι:
(μήκος τόξου) ÷ περιφέρεια = (κεντρική γωνία) ÷ 360 °
Η κεντρική γωνία θα είναι σε μοίρες.
Αυτός ο τύπος έχει νόημα, αν το σκεφτείς. Το μήκος του τόξου από το συνολικό μήκος γύρω από τον κύκλο (περιφέρεια) είναι το ίδιο ποσοστό με τη γωνία τόξου εκτός της συνολικής γωνίας σε έναν κύκλο (360 μοίρες).
Για να χρησιμοποιήσετε αυτήν την εξίσωση αποτελεσματικά, πρέπει να γνωρίζετε την περιφέρεια του κύκλου. Αλλά μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον τύπο για να βρείτε το μήκος τόξου αν γνωρίζετε την κεντρική γωνία και την περιφέρεια. Ή, αν έχετε το μήκος τόξου και την κεντρική γωνία, μπορείτε να βρείτε την περιφέρεια!
Βρείτε την κεντρική γωνία από το μήκος και την ακτίνα του τόξου
Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε την ακτίνα του κύκλου και το μήκος του τόξου για να βρείτε την κεντρική γωνία. Καλέστε το μέτρο της κεντρικής γωνίας θ. Επειτα:
θ = s ÷ r, όπου s είναι το μήκος τόξου και r είναι η ακτίνα. θ μετράται σε ακτίνια.
Και πάλι, μπορείτε να αναδιατάξετε αυτήν την εξίσωση ανάλογα με τις πληροφορίες που έχετε. Μπορείτε να βρείτε το μήκος του τόξου από την ακτίνα και την κεντρική γωνία. Ή μπορείτε να βρείτε την ακτίνα εάν έχετε την κεντρική γωνία και το μήκος τόξου.
Αν θέλετε το μήκος του τόξου, η εξίσωση φαίνεται έτσι:
s = θ * r, όπου s είναι το μήκος τόξου, r είναι η ακτίνα, και θ είναι η κεντρική γωνία σε ακτίνια.
Το Θεώρημα Κεντρικής Γωνίας
Αφήστε να προσθέσετε μια συστροφή στο παράδειγμα σας όπου είστε στην αρένα με τον γείτονά σας και τον δάσκαλό σας. Τώρα είναι το τρίτο πρόσωπο που γνωρίζετε στην αρένα: ο γείτονάς σας. Και ένα ακόμα πράγμα: Είναι πίσω σας. Πρέπει να γυρίσετε για να τα δείτε.
Ο γείτονάς σας είναι κατά μήκος της αρένας από τον φίλο σας και από τον δάσκαλό σας. Από την άποψη των γειτόνων σας, υπάρχει μια γωνία που σχηματίζεται από την οπτική τους όψη στον φίλο και την οπτική τους όψη προς τον δάσκαλο. Αυτό ονομάζεται εγγεγραμμένη γωνία. Ενα εγγεγραμένη γωνία είναι μια γωνία που σχηματίζεται από τρία σημεία κατά μήκος μιας περιφέρειας κύκλων.
Το Θεώρημα της Κεντρικής Γωνίας εξηγεί τη σχέση μεταξύ του μεγέθους της κεντρικής γωνίας που σχηματίζεται από εσάς και της εγγεγραμμένης γωνίας που σχηματίζει ο γείτονάς σας. ο Θεώρημα Κεντρικής Γωνίας δηλώνει ότι η κεντρική γωνία είναι διπλάσια από την εγγεγραμμένη γωνία. (Αυτό προϋποθέτει ότι χρησιμοποιείτε τα ίδια τελικά σημεία. Είσαι και οι δύο κοιτάζοντας τον δάσκαλο και τον φίλο, όχι κάποιον άλλο).
Υπάρχει ένας άλλος τρόπος να το γράψω. Αφήστε να καλέσετε τους φίλους σας την έδρα Α, τη θέση του δασκάλου σας B και τη γειτονιά σας, το κάθισμα C. Μπορείτε, στο κέντρο, να είστε O.
Έτσι, για τρία σημεία Α, Β και C κατά μήκος της περιφέρειας ενός κύκλου και το σημείο Ο στο κέντρο, η κεντρική γωνία ∠AOC είναι διπλάσια από την εγγεγραμμένη γωνία ∠ABC.
Αυτό είναι, ∠AOC = 2∠ABC.
Αυτό έχει νόημα. Είστε πιο κοντά στον φίλο και τον δάσκαλο, έτσι ώστε να σας κοιτάξουμε πιο μακριά (μεγαλύτερη γωνία). Στον γείτονά σας στην άλλη πλευρά του γηπέδου, φαίνονται πολύ πιο κοντά μαζί (μια μικρότερη γωνία).
Εξαίρεση στο Θεώρημα της Κεντρικής Γωνίας
Τώρα, αφήνετε τα πράγματα να μετατοπιστούν. Ο πλησίον σου στην άκρη της αρένας αρχίζει να κινείται! Έχουν ακόμα μια οπτική επαφή με τον φίλο και τον δάσκαλο, αλλά οι γραμμές και οι γωνίες συνεχίζουν να μετατοπίζονται καθώς ο γείτονας κινείται. Μαντέψτε τι: Όσο ο γείτονας παραμένει έξω από το τόξο ανάμεσα στον φίλο και τον γείτονα, το Θεώρημα της Κεντρικής Γωνίας εξακολουθεί να ισχύει!
Αλλά τι συμβαίνει όταν ο γείτονας κινείται μεταξύ ο φίλος και ο δάσκαλος; Τώρα ο γείτονάς σου είναι μέσα στο δευτερεύον τόξο, η σχετικά μικρή απόσταση μεταξύ του φίλου και του δασκάλου σε σύγκριση με τη μεγαλύτερη απόσταση γύρω από την υπόλοιπη αρένα. Στη συνέχεια, φτάνετε σε μια εξαίρεση στο Θεώρημα Κεντρικής Γωνίας.
ο εξαίρεση από το Θεώρημα Κεντρικής Γωνίας δηλώνει ότι όταν το σημείο Γ, ο γείτονας, βρίσκεται μέσα στο μικρό τόξο, η εγγεγραμμένη γωνία είναι το συμπλήρωμα της μισής κεντρικής γωνίας. (Θυμηθείτε ότι μια γωνία και της συμπλήρωμα προσθέστε σε 180 μοίρες.)
Ετσι: εγγεγραμμένη γωνία = 180 - (κεντρική γωνία ÷ 2)
Ή: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Απεικονίζω
Το Math Open Reference έχει ένα εργαλείο για να απεικονίσει το Θεώρημα της Κεντρικής Γωνίας και την εξαίρεση του. Μπορείτε να σύρετε το "γείτονα" σε όλα τα διαφορετικά μέρη του κύκλου και να παρακολουθήσετε τις αλλαγές γωνιών. Δοκιμάστε το εάν θέλετε μια οπτική ή επιπλέον πρακτική!