Περιεχόμενο
- TL · DR (Πολύ μακρύ;
- Τι είναι ένας πολύπλοκος αριθμός;
- Βασικοί κανόνες για την άλγεβρα με σύνθετους αριθμούς
- Διαίρεση σύνθετων αριθμών
- Απλοποίηση σύνθετων αριθμών
Η άλγεβρα συχνά συνεπάγεται την απλούστευση των εκφράσεων, αλλά ορισμένες εκφράσεις είναι πιο συγκεχυμένες για την αντιμετώπιση από άλλες. Οι σύνθετοι αριθμοί αφορούν την ποσότητα που είναι γνωστή ως Εγώ, έναν "φανταστικό" αριθμό με την ιδιότητα Εγώ = √-1. Εάν πρέπει απλώς να εκφράσετε έναν σύνθετο αριθμό, μπορεί να φαίνεται τρομακτικό, αλλά είναι μια απλή διαδικασία μόλις μάθετε τους βασικούς κανόνες.
TL · DR (Πολύ μακρύ;
Απλοποιήστε τους περίπλοκους αριθμούς ακολουθώντας τους κανόνες της άλγεβρας με πολύπλοκες αριθμούς.
Τι είναι ένας πολύπλοκος αριθμός;
Οι σύνθετοι αριθμοί ορίζονται με την ένταξή τους Εγώ η οποία είναι η τετραγωνική ρίζα του πλην ενός. Στα μαθηματικά βασικού επιπέδου, οι τετραγωνικές ρίζες των αρνητικών αριθμών δεν υπάρχουν, αλλά εμφανίζονται περιστασιακά σε προβλήματα άλγεβρας. Η γενική μορφή για έναν σύνθετο αριθμό δείχνει τη δομή τους:
z = ένα + bi
Που z επισημαίνει τον περίπλοκο αριθμό, ένα αντιπροσωπεύει οποιοδήποτε αριθμό (που ονομάζεται "πραγματικό"), και σι αντιπροσωπεύει έναν άλλο αριθμό (που ονομάζεται "φανταστικό" μέρος), και τα δύο μπορεί να είναι θετικά ή αρνητικά. Έτσι ένας πολύπλοκος αριθμός παραδείγματος είναι:
z = 2 -4_i_
Δεδομένου ότι όλες οι τετραγωνικές ρίζες των αρνητικών αριθμών μπορούν να αναπαρασταθούν από πολλαπλάσια των Εγώ, αυτή είναι η μορφή για όλους τους πολύπλοκους αριθμούς. Από τεχνική άποψη, ένας κανονικός αριθμός περιγράφει ακριβώς μια ειδική περίπτωση ενός πολύπλοκου αριθμού όπου σι = 0, έτσι ώστε όλοι οι αριθμοί θα μπορούσαν να θεωρηθούν σύνθετοι.
Βασικοί κανόνες για την άλγεβρα με σύνθετους αριθμούς
Για να προσθέσετε και να αφαιρέσετε σύνθετους αριθμούς, απλώς προσθέστε ή αφαιρέστε τα αληθινά και τα φανταστικά μέρη χωριστά. Έτσι για σύνθετους αριθμούς z = 2 - 4_i_ και w = 3 + 5_i_, το άθροισμα είναι:
z + w = (2 - 4_i) + (3 + 5_i)
=(2 + 3) + (−4 + 5)Εγώ
= 5 + 1_i_ = 5 + Εγώ
Η αφαίρεση των αριθμών λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο:
z − w = (2 - 4_i) - (3 + 5_i)
= (2 − 3) + (−4 − 5)Εγώ
= -1 - 9_i_
Ο πολλαπλασιασμός είναι μια άλλη απλή λειτουργία με σύνθετους αριθμούς, επειδή λειτουργεί όπως ο κανονικός πολλαπλασιασμός, εκτός από αυτό που πρέπει να θυμάστε Εγώ2 = -1. Έτσι, για να υπολογίσετε το 3_i_ × -4_i_:
3_i_ × -4_i_ = -12_i_2
Αλλά από τότε Εγώ2= -1, τότε:
-12_i_2 = −12 ×−1 = 12
Με πλήρεις σύνθετους αριθμούς (χρησιμοποιώντας z = 2 - 4_i_ και w = 3 + 5_i_ πάλι), πολλαπλασιάζετε τα με τον ίδιο τρόπο που θα κάνατε με κοινούς αριθμούς όπως (ένα + σι) (ντο + ρε), χρησιμοποιώντας την μέθοδο "πρώτη, εσωτερική, εξωτερική, τελευταία" (FOIL), για να δώσει (ένα + σι) (ντο + ρε) = μετα Χριστον + προ ΧΡΙΣΤΟΥ + Ενα δ + bd. Το μόνο που πρέπει να θυμάστε είναι να απλοποιήσετε τυχόν περιπτώσεις Εγώ2. Για παράδειγμα:
z × w = (2 - 4_i) (3 + 5_i)
= (2 × 3) + (-4_i × 3) + (2 × 5_i) + (-4_i × 5_i_)
= 6 -12_i_ + 10_i_ - 20_i_2
= 6 -2_i_ + 20 = 26 + 2_i_
Διαίρεση σύνθετων αριθμών
Ο διαχωρισμός πολύπλοκων αριθμών περιλαμβάνει τον πολλαπλασιασμό του αριθμητή και του παρονομαστή του κλάσματος από το σύνθετο συζυγές του παρονομαστή. Το πολύπλοκο συζυγές σημαίνει απλώς την έκδοση του σύνθετου αριθμού με το φανταστικό μέρος αντιστρέψιμο σε σημείο. Ετσι, για z = 2 - 4_i_, το σύνθετο σύζευγμα z = 2 + 4_i_, και για w = 3 + 5_i_, w = 3 -5_i_. Για το πρόβλημα:
z / w = (2 - 4_i) / (3 + 5_i)
Το σύζευγμα που χρειάζεται είναι w*. Διαχωρίστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με αυτό για να δώσετε:
z / w = (2 - 4_i) (3 - 5_i) / (3 + 5_i) (3 - 5_i)
Και στη συνέχεια εργάζεστε όπως στο προηγούμενο τμήμα. Ο αριθμητής δίνει:
(2 - 4_i) (3 - 5_i) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_2
= -14-22_i_
Και ο παρονομαστής δίνει:
(3 + 5_i) (3 - 5_i) = 9 + 15_i_15_i_25_i_2
= 9 + 25 = 34
Αυτό σημαίνει:
z / w = (-14-22_i_) / 34
= -14 / 34-22_i_ / 34
= -7/17 - 11_i_ / 17
Απλοποίηση σύνθετων αριθμών
Χρησιμοποιήστε τους παραπάνω κανόνες για να απλοποιήσετε τις πολύπλοκες εκφράσεις. Για παράδειγμα:
z = ((4 + 2_i) + (2 - Εγώ)) ÷ ((2 + 2_i)) (2+ Εγώ))
Αυτό μπορεί να απλοποιηθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα προσθήκης στον αριθμητή, τον κανόνα πολλαπλασιασμού στον παρονομαστή και στη συνέχεια την ολοκλήρωση της διαίρεσης. Για τον αριθμητή:
(4 + 2_i) + (2 - Εγώ) = 6 + Εγώ
Για τον παρονομαστή:
(2 + 2_i) (2+ Εγώ) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_2
= (4-2) + 6_i
= 2 + 6_i_
Η επαναφορά τους στη θέση τους δίνει:
z = (6 + Εγώ) / (2 + 6_i)
Ο πολλαπλασιασμός και των δύο μερών από το συζυγές του παρονομαστή οδηγεί σε:
z = (6 + Εγώ) (2 - 6_i) / (2 + 6_i) (2-6_i_)
= (12 + 2_i_ - 36_i_ - 6_i_2) / (4 + 12_i_ - 12_i_ - 36_i_2)
= (18 - 34_i_) / 40
= (9-17_i_) / 20
= 9/20 -17_i_ / 20
Έτσι αυτό σημαίνει z απλουστεύει ως εξής:
z = ((4 + 2_i) + (2 - Εγώ)) ÷ ((2 + 2_i)) (2+ Εγώ)) = 9/20 -17_i_ / 20