Περιεχόμενο
- Ακύρωση των ριζικών εκφράσεων από ένα κλάσμα
- Απλοποίηση της ριζικής έκφρασης
- Εξορθολογισμός του παρονομαστή
Τα ριζικά κλάσματα δεν είναι μικρά επαναστατικά κλάσματα που μένουν έξω αργά, πίνουν και καπνίζουν. Αντ 'αυτού, είναι κλάσματα που περιλαμβάνουν ριζοσπάστες - συνήθως τετράγωνες ρίζες όταν εισάγετε για πρώτη φορά την ιδέα, αλλά αργότερα μπορεί να συναντήσετε επίσης ρίζες κύβων, τέταρτες ρίζες και τα παρόμοια, που όλοι λέγονται και ριζοσπάστες. Ανάλογα με το τι ακριβώς σας ζητά ο δάσκαλός σας, υπάρχουν δύο τρόποι απλούστευσης των ριζοσπαστικών κλασμάτων: Είτε ο παράγοντας ριζική εξ ολοκλήρου, απλοποιήστε το ή «εξορθολογίστε» το κλάσμα, πράγμα που σημαίνει ότι απομακρύνετε τη ριζική από τον παρονομαστή, έχουν μια ρίζα στον αριθμητή.
Ακύρωση των ριζικών εκφράσεων από ένα κλάσμα
Εξετάστε την πρώτη σας επιλογή, παράγοντας την ριζοσπαστική από το κλάσμα. Υπάρχουν δύο τρόποι να το κάνετε αυτό. Εάν υπάρχει η ίδια ρίζα στο όλους τους όρους τόσο στην κορυφή όσο και στο κάτω μέρος του κλάσματος, μπορείτε απλά να παραγάγετε και να ακυρώσετε τη ριζοσπαστική έκφραση. Για παράδειγμα, αν έχετε:
(2√3) / (3√3_)_
Μπορείτε να υπολογίσετε και τους δύο ριζοσπάστες, επειδή είναι παρόντες σε κάθε όρο στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Αυτό σας αφήνει:
√3/√3 × 2/3
Και επειδή οποιοδήποτε κλάσμα με τις ίδιες μη μηδενικές τιμές σε αριθμητή και παρονομαστή είναι ίσο με ένα, μπορείτε να το ξαναγράψετε ως εξής:
1 × 2/3
Ή απλά 2/3.
Απλοποίηση της ριζικής έκφρασης
Μερικές φορές θα συναντήσετε μια ριζοσπαστική έκφραση που δεν έχει συνοπτική απάντηση, όπως το √3 από το προηγούμενο παράδειγμα. Σε αυτή την περίπτωση συνήθως θα διατηρήσετε τον ριζοσπαστικό όρο ακριβώς όπως είναι, χρησιμοποιώντας βασικές λειτουργίες όπως factoring ή ακύρωση για να το αφαιρέσετε ή να τον απομονώσετε. Αλλά μερικές φορές υπάρχει μια προφανής απάντηση. Εξετάστε το ακόλουθο κλάσμα:
(√4)/(√9)
Σε αυτή την περίπτωση, αν γνωρίζετε τις τετραγωνικές ρίζες σας, μπορείτε να δείτε ότι και οι δύο ριζοσπάστες αντιπροσωπεύουν πραγματικά οικείους ακεραίους. Η τετραγωνική ρίζα του 4 είναι 2 και η τετραγωνική ρίζα του 9 είναι 3. Έτσι, αν βλέπετε τις τετράγωνες ρίζες, μπορείτε απλά να ξαναγράψετε το κλάσμα μαζί τους στην απλοποιημένη, ακέραια μορφή τους. Σε αυτή την περίπτωση, έχετε:
2/3
Αυτό λειτουργεί επίσης με ρίζες κύβων και άλλες ρίζες. Για παράδειγμα, η ρίζα κύβου του 8 είναι 2 και η ρίζα του κύβου του 125 είναι 5. Έτσι, εάν συναντήσατε:
(3√8) / (3√125)
Θα μπορούσατε, με λίγη πρακτική, να είστε σε θέση να δείτε αμέσως ότι απλοποιεί σε πολύ πιο απλό και πιο εύκολο χειρισμό:
2/5
Εξορθολογισμός του παρονομαστή
Συχνά, οι καθηγητές θα σας επιτρέψουν να κρατήσετε ριζοσπαστικές εκφράσεις στον αριθμητή του κλάσματός σας. αλλά, όπως και ο αριθμός μηδέν, οι ρίζες προκαλούν προβλήματα όταν εμφανίζονται στον παρονομαστή ή στον κάτω αριθμό του κλάσματος. Έτσι, ο τελευταίος τρόπος με τον οποίο μπορεί να σας ζητηθεί να απλοποιήσετε τα ριζοσπαστικά κλάσματα είναι μια διαδικασία που ονομάζεται εξορθολογισμός τους, πράγμα που απλά σημαίνει να αποκλείσετε τη ριζοσπαστική από τον παρονομαστή. Συχνά, αυτό σημαίνει ότι η ριζοσπαστική έκφραση εμφανίζεται στον αριθμητή.
Εξετάστε το κλάσμα
4/_√_5
Δεν μπορείτε να απλοποιήσετε εύκολα το _√_5 σε έναν ακέραιο αριθμό, και ακόμα και αν το παραγάγετε, έχετε ακόμα ένα κλάσμα που έχει μια ρίζα στον παρονομαστή, ως εξής:
1/_√_5 × 4/1
Επομένως, καμία από τις μεθόδους που έχουν ήδη συζητηθεί δεν θα λειτουργήσει. Αλλά αν θυμάστε τις ιδιότητες των κλασμάτων, ένα κλάσμα με οποιοδήποτε μη μηδενικό αριθμό στις δύο κορυφές και στο κάτω είναι ίσο με 1. Έτσι θα μπορούσατε να γράψετε:
√_5/√_5 = 1
Και επειδή μπορείτε να πολλαπλασιάσετε 1 φορά οτιδήποτε άλλο χωρίς να αλλάξετε την αξία αυτού του άλλου πράγματος, μπορείτε επίσης να γράψετε τα παρακάτω χωρίς να αλλάξετε την αξία του κλάσματος:
√_5/√5 × 4/√_5
Μόλις πολλαπλασιάσετε, κάτι ιδιαίτερο συμβαίνει. Ο αριθμητής γίνεται 4_√_5, πράγμα που είναι αποδεκτό επειδή ο στόχος σας ήταν απλώς να αποκλείσετε τον ριζοσπαστικό από τον παρονομαστή. Εάν εμφανίζεται στον αριθμητή, μπορείτε να το αντιμετωπίσετε.
Εν τω μεταξύ, ο παρονομαστής γίνεται √_5 × √5 ή (√_5)2. Και επειδή μια τετραγωνική ρίζα και ένα τετράγωνο ακυρώνουν το ένα το άλλο, αυτό απλοποιεί απλά το 5. Έτσι το κλάσμα σας είναι τώρα:
4_√_5 / 5, το οποίο θεωρείται λογικό κλάσμα επειδή δεν υπάρχει ριζοσπαστική στον παρονομαστή.