Νόμοι της κίνησης του εκκρεμούς

Περιεχόμενο

• TL · DR (Πολύ μακρύ;
• Απλή αρμονική κίνηση
• Νόμοι απλού εκκρεμούς
• Απλή παράκαμψη του εκκρεμούς
• Παράγοντες που επηρεάζουν την κίνηση του εκκρεμούς
• Μήκος του εκκρεμούς Παράδειγμα
• Απλός ορισμός του εκκρεμούς
• Newton Laws στο Εκκρεμές

Τα εκκρεμή έχουν ενδιαφέρουσες ιδιότητες που οι φυσικοί χρησιμοποιούν για να περιγράψουν άλλα αντικείμενα. Για παράδειγμα, η πλανητική τροχιά ακολουθεί ένα παρόμοιο μοτίβο και η ταλάντευση σε ένα κιβώτιο ταλάντευσης μπορεί να νιώθει σαν να είσαι σε ένα εκκρεμές. Αυτές οι ιδιότητες προέρχονται από μια σειρά νόμων που διέπουν το κίνημα του εκκρεμούς. Με την εκμάθηση αυτών των νόμων, μπορείτε να αρχίσετε να καταλαβαίνετε μερικές από τις βασικές αρχές της φυσικής και της κίνησης γενικά.

TL · DR (Πολύ μακρύ;

Η κίνηση ενός εκκρεμούς μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας θ (t) = θ_{Μέγιστη}cos (2πτ / Τ) στο οποίο θ αντιπροσωπεύει τη γωνία μεταξύ της χορδής και της κάθετης γραμμής προς τα κάτω στο κέντρο, t αντιπροσωπεύει το χρόνο, και Τ είναι η χρονική περίοδος, ο χρόνος που απαιτείται για να πραγματοποιηθεί ένας πλήρης κύκλος της κίνησης του εκκρεμούς (μετρούμενος με 1 / f), της πρότασης για εκκρεμές.

Απλή αρμονική κίνηση

Απλή αρμονική κίνηση, ή κίνηση που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο μια ταχύτητα αντικειμένων κυμαίνεται ανάλογα με την ποσότητα μετατόπισης από την ισορροπία, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει την εξίσωση ενός εκκρεμούς. Ένα εκκρεμές bob swinging διατηρείται σε κίνηση από αυτή τη δύναμη που ενεργεί επάνω σε αυτό καθώς κινείται εμπρός και πίσω.

••• Syed Hussain Ather

Οι νόμοι που διέπουν το κίνημα του εκκρεμούς οδήγησαν στην ανακάλυψη μιας σημαντικής περιουσίας. Οι φυσικοί χωρίζουν τις δυνάμεις τους σε κάθετη και οριζόντια συνιστώσα. Στην κίνηση του εκκρεμούς, τρεις δυνάμεις εργάζονται απευθείας στο εκκρεμές: η μάζα του bob, η βαρύτητα και η ένταση στο string. Η μάζα και η βαρύτητα δουλεύουν κατακόρυφα προς τα κάτω. Δεδομένου ότι το εκκρεμές δεν κινείται προς τα επάνω ή προς τα κάτω, το κατακόρυφο στοιχείο της τάσης της χορδής ακυρώνει τη μάζα και τη βαρύτητα.

Αυτό δείχνει ότι η μάζα ενός εκκρεμούς δεν έχει καμία σχέση με την κίνηση του, αλλά η οριζόντια ένταση της χορδής. Η απλή αρμονική κίνηση είναι παρόμοια με την κυκλική κίνηση. Μπορείτε να περιγράψετε ένα αντικείμενο που κινείται σε μια κυκλική διαδρομή όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα καθορίζοντας τη γωνία και την ακτίνα που παίρνει στην αντίστοιχη κυκλική πορεία του. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το τριγωνομετρία του δεξιού τριγώνου ανάμεσα στο κέντρο των κύκλων, τη θέση των αντικειμένων και την μετατόπιση προς τις δύο κατευθύνσεις x και y, μπορείτε να βρείτε εξισώσεις x = rsin (θ) και y = rcos (θ).

Η μονοδιάστατη εξίσωση ενός αντικειμένου με απλή αρμονική κίνηση δίνεται από x = r cos (ωt). Μπορείτε να αντικαταστήσετε περαιτέρω ΕΝΑ Για r στο οποίο ΕΝΑ είναι το εύρος, τη μέγιστη μετατόπιση από την αρχική θέση των αντικειμένων.

Η γωνιακή ταχύτητα ω σε σχέση με το χρόνο t για αυτές τις γωνίες θ δίνεται από θ = ωt. Αν αντικαταστήσετε την εξίσωση που σχετίζεται με τη γωνιακή ταχύτητα με τη συχνότητα φά, ω = 2πf_, μπορείτε να φανταστείτε αυτήν την κυκλική κίνηση, τότε, ως τμήμα ενός εκκρεμούς που αιωρείται από πίσω και μετά, τότε η προκύπτουσα απλή εξίσωση αρμονικής κίνησης είναι _x = A cos (2πφt).

Νόμοι απλού εκκρεμούς

••• Syed Hussain Ather

Τα εκκρεμή, όπως οι μάζες σε μια πηγή, είναι παραδείγματα απλοί αρμονικοί ταλαντωτές: Υπάρχει μια δύναμη αποκατάστασης που αυξάνεται ανάλογα με το πώς μετατοπίζεται το εκκρεμές, και η κίνηση τους μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας το απλή εξίσωση αρμονικού ταλαντωτή θ (t) = θ_{Μέγιστη}cos (2πτ / Τ) στο οποίο θ αντιπροσωπεύει τη γωνία μεταξύ της χορδής και της κάθετης γραμμής προς τα κάτω στο κέντρο, t αντιπροσωπεύει το χρόνο και Τ είναι το περίοδος, ο χρόνος που απαιτείται για να πραγματοποιηθεί ένας πλήρης κύκλος της κίνησης του εκκρεμούς (μετρούμενος με 1 / f), της πρότασης για εκκρεμές.

θ_{Μέγιστη} είναι ένας άλλος τρόπος για τον ορισμό του μέγιστου που η γωνία κυμαίνεται κατά τη διάρκεια της κίνησης του εκκρεμούς και είναι ένας άλλος τρόπος καθορισμού του πλάτους του εκκρεμούς. Αυτό το βήμα εξηγείται παρακάτω στο τμήμα "Ορισμός απλού εκκρεμούς".

Μια άλλη επίδραση των νόμων ενός απλού εκκρεμούς είναι ότι η περίοδος ταλάντωσης με σταθερό μήκος είναι ανεξάρτητη από το μέγεθος, το σχήμα, τη μάζα και το υλικό του αντικειμένου στο τέλος της χορδής. Αυτό φαίνεται σαφώς με την απλή παράδοση του εκκρεμούς και τις εξισώσεις που προκύπτουν.

Απλή παράκαμψη του εκκρεμούς

Μπορείτε να προσδιορίσετε την εξίσωση για a απλό εκκρεμές, ο ορισμός που εξαρτάται από έναν απλό αρμονικό ταλαντωτή, από μια σειρά βημάτων που αρχίζουν με την εξίσωση κίνησης για ένα εκκρεμές. Επειδή η δύναμη της βαρύτητας ενός εκκρεμούς ισούται με τη δύναμη της κίνησης του εκκρεμούς, μπορείτε να τις ορίσετε ίσες μεταξύ τους χρησιμοποιώντας το δεύτερο νόμο Newton με μάζα εκκρεμούς Μ, μήκος συμβολοσειράς μεγάλο, γωνία θ, βαρυτική επιτάχυνση σολ και το χρονικό διάστημα t.

••• Syed Hussain Ather

Ορίσατε τον Newton δεύτερο νόμο ίσο με τη στιγμή της αδράνειας I = mr²για κάποια μάζα _m και την ακτίνα της κυκλικής κίνησης (μήκος της χορδής σε αυτή την περίπτωση) r φορές τη γωνιακή επιτάχυνση α.

Υπάρχουν άλλοι τρόποι για να γίνει απλή παράδοση του εκκρεμούς. Κατανοήστε την έννοια πίσω από κάθε βήμα για να δείτε πώς σχετίζονται. Μπορείτε να περιγράψετε ένα απλό κίνημα εκκρεμούς χρησιμοποιώντας αυτές τις θεωρίες, αλλά θα πρέπει επίσης να λάβετε υπόψη άλλους παράγοντες που μπορεί να επηρεάσουν την απλή θεωρία εκκρεμών.

Παράγοντες που επηρεάζουν την κίνηση του εκκρεμούς

Αν συγκρίνετε το αποτέλεσμα αυτής της παραδοχής θ (t) = θ_{Μέγιστη}cos (t (L / g)²) στην εξίσωση ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή (_θ (t) = θ_{Μέγιστη}cos (2πt / T)) b_y τους ορίζοντας ισότιμα ​​μεταξύ τους, μπορείτε να αντλήσετε μια εξίσωση για την περίοδο Τ.

Παρατηρήστε ότι αυτή η εξίσωση Τ = 2π (L / g)^-1/2 doesnt εξαρτάται από τη μάζα Μ του εκκρεμούς, το εύρος θ_{Μέγιστη}, ούτε την ώρα t. Αυτό σημαίνει ότι η περίοδος είναι ανεξάρτητη από τη μάζα, το εύρος και το χρόνο, αλλά, αντίθετα, βασίζεται στο μήκος της συμβολοσειράς. Σας δίνει έναν συνοπτικό τρόπο έκφρασης της κίνησης του εκκρεμούς.

Μήκος του εκκρεμούς Παράδειγμα

Με την εξίσωση για μια περίοδο T = 2π (L / g) __^-1/2, μπορείτε να αναδιατάξετε την εξίσωση για να λάβετε L = (T / 2_π)² / g_ και αντικαταστήστε 1 δευτ. για Τ και 9,8 m / s² Για σολ αποκτώ L = 0,0025 μ. Λάβετε υπόψη αυτές τις εξισώσεις της απλής θεωρίας του εκκρεμούς να υποθέσουμε ότι το μήκος της χορδή είναι χωρίς τριβή και χωρίς μάζα. Για να ληφθούν υπόψη αυτοί οι παράγοντες απαιτούνται πιο περίπλοκες εξισώσεις.

Απλός ορισμός του εκκρεμούς

Μπορείτε να τραβήξετε τη γωνία πλάτης του εκκρεμούς θ για να το αφήσει να ταλαντεύεται μπρος-πίσω για να το δει να ταλαντεύεται σαν μια άνοιξη. Για ένα απλό εκκρεμές μπορείτε να το περιγράψετε χρησιμοποιώντας εξισώσεις κίνησης ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή. Η εξίσωση της κίνησης λειτουργεί καλά για μικρότερες τιμές γωνίας και εύρος, η μέγιστη γωνία, επειδή το απλό μοντέλο του εκκρεμούς στηρίζεται στην προσέγγιση αυτή sin (θ) ≈ θ για κάποια γωνία εκκρεμούς θ. Καθώς οι τιμές γωνιών και πλάτους γίνονται μεγαλύτερες από περίπου 20 μοίρες, η προσέγγιση αυτή δεν λειτουργεί επίσης.

Δοκιμάστε το για τον εαυτό σας. Ένα εκκρεμές εκκρεμές με μεγάλη αρχική γωνία θ δεν θα ταλαντεύεται όπως τακτικά για να σας επιτρέψει να χρησιμοποιήσετε έναν απλό αρμονικό ταλαντωτή για να το περιγράψετε. Σε μικρότερη αρχική γωνία θ, το εκκρεμές προσεγγίζει μια τακτική, ταλάντωση κίνηση πολύ πιο εύκολα. Επειδή η μάζα ενός εκκρεμούς δεν έχει καμία σχέση με την κίνηση του, οι φυσικοί έχουν αποδείξει ότι όλα τα εκκρεμή έχουν την ίδια χρονική περίοδο για γωνίες ταλάντωσης - η γωνία μεταξύ του κέντρου του εκκρεμούς στο υψηλότερο σημείο του και του κέντρου του εκκρεμούς στη στάση του - από 20 μοίρες.

Για όλους τους πρακτικούς σκοπούς ενός εκκρεμούς σε κίνηση, το εκκρεμές τελικά θα επιβραδυνθεί και θα σταματήσει εξαιτίας της τριβής μεταξύ της χορδής και του στερεωμένου σημείου της επάνω καθώς και λόγω της αντίστασης του αέρα μεταξύ του εκκρεμούς και του αέρα γύρω από αυτό.

Για πρακτικά παραδείγματα κίνησης του εκκρεμούς, η περίοδος και η ταχύτητα εξαρτώνται από τον τύπο του χρησιμοποιούμενου υλικού που θα προκαλούσε αυτά τα παραδείγματα τριβής και αντοχής στον αέρα. Εάν εκτελείτε υπολογισμούς στην θεωρητική ταλαντευτική συμπεριφορά του εκκρεμούς χωρίς να υπολογίζετε αυτές τις δυνάμεις, τότε αυτό θα αντιστοιχεί σε ένα εκκρεμές που ταλαντώνεται απεριόριστα.

Newton Laws στο Εκκρεμές

Ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα ορίζει την ταχύτητα των αντικειμένων ως απάντηση στις δυνάμεις. Ο νόμος δηλώνει ότι αν ένα αντικείμενο κινείται με μια συγκεκριμένη ταχύτητα και σε μια ευθεία γραμμή, θα συνεχίσει να κινούνται με αυτή την ταχύτητα και σε ευθεία γραμμή, απείρως, εφόσον δεν ασκεί καμία άλλη δύναμη πάνω σε αυτό. Φανταστείτε να ρίχνετε μια μπάλα ευθεία προς τα εμπρός - η μπάλα θα πήγαινε γύρω από τη γη ξανά και ξανά αν η αντίσταση και η βαρύτητα δεν έκαναν ενέργεια. Αυτός ο νόμος δείχνει ότι, δεδομένου ότι ένα εκκρεμές κινείται πλάι-πλάι και όχι πάνω-κάτω, δεν έχει πάνω-κάτω δυνάμεις που ενεργούν πάνω του.

Ο νέος νόμος Newtons χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της καθαρής δύναμης στο εκκρεμές ρυθμίζοντας τη βαρυτική δύναμη ίση με τη δύναμη της χορδής που τραβά πίσω στο εκκρεμές. Ο καθορισμός αυτών των εξισώσεων ίσου μεταξύ τους επιτρέπει να εξάγετε τις εξισώσεις κίνησης για το εκκρεμές.

Ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα δηλώνει ότι κάθε ενέργεια έχει αντίδραση ίσης δύναμης. Αυτός ο νόμος λειτουργεί με τον πρώτο νόμο που δείχνει ότι αν και η μάζα και η βαρύτητα ακυρώνουν την κατακόρυφη συνιστώσα του διανύσματος τάσης χορδών, τίποτα δεν ακυρώνει την οριζόντια συνιστώσα. Αυτός ο νόμος δείχνει ότι οι δυνάμεις που δρουν σε ένα εκκρεμές μπορούν να ακυρώνονται η μία την άλλη.

Οι φυσικοί χρησιμοποιούν τον πρώτο, δεύτερο και τρίτο νόμο Newton για να αποδείξουν ότι η οριζόντια τάση των χορδών κινεί το εκκρεμές ανεξάρτητα από τη μάζα ή τη βαρύτητα. Οι νόμοι ενός απλού εκκρεμούς ακολουθούν τις ιδέες του Newton τρεις νόμους κίνησης.