Περιεχόμενο
Μερικές φορές η "εκθετική ανάπτυξη" είναι απλώς μια μορφή λόγου, μια αναφορά σε οτιδήποτε αυξάνεται αδικαιολόγητα ή απίστευτα γρήγορα. Αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις, μπορείτε να πάρετε την ιδέα της εκθετικής ανάπτυξης κυριολεκτικά. Για παράδειγμα, ένας πληθυσμός κουνελιών μπορεί να αναπτυχθεί εκθετικά καθώς κάθε γενιά πολλαπλασιάζεται, κατόπιν πολλαπλασιάζονται οι απόγονοί τους και ούτω καθεξής. Το επιχειρηματικό ή προσωπικό εισόδημα μπορεί επίσης να αυξηθεί εκθετικά. Όταν καλείτε να κάνετε πραγματικούς υπολογισμούς εκθετικής ανάπτυξης, θα λειτουργήσετε με τρία στοιχεία: αρχική αξία, ρυθμό ανάπτυξης (ή φθορά) και χρόνο.
TL · DR (Πολύ μακρύ;
TL · DR (Πολύ μακρύ;
Για να υπολογίσετε την εκθετική ανάπτυξη, χρησιμοποιήστε τον τύπο y(t) = a__ekt, που ένα είναι η τιμή στην αρχή, κ είναι ο ρυθμός ανάπτυξης ή αποσύνθεσης, t είναι καιρός και y(t) είναι η αξία των πληθυσμών στο χρόνο t.
Πώς να υπολογίσετε τα ποσοστά εκθετικής ανάπτυξης
Φανταστείτε ότι ένας επιστήμονας μελετά την ανάπτυξη ενός νέου είδους βακτηρίων. Ενώ θα μπορούσε να εισάγει τις τιμές της αρχικής ποσότητας, του ρυθμού ανάπτυξης και του χρόνου σε έναν υπολογισμό πληθυσμιακής αύξησης, αποφάσισε να υπολογίσει το ποσοστό ανάπτυξης των πληθυσμών των βακτηρίων με το χέρι.
Κοιτάζοντας πίσω τα σχόλιά του, ο επιστήμονας βλέπει ότι ο αρχικός του πληθυσμός ήταν 50 βακτήρια. Πέντε ώρες αργότερα, μέτρησε 550 βακτήρια.
Εισαγωγή των πληροφοριών των επιστημόνων στην εξίσωση για εκθετική ανάπτυξη ή αποσύνθεση, y(t) = a__ekt, αυτός έχει:
550 = 50_eκ_5
Το μόνο άγνωστο αριστερό στην εξίσωση είναι κ, ή τον ρυθμό εκθετικής ανάπτυξης.
Για να ξεκινήσετε την επίλυση για κ, πρώτα διαιρέστε τις δύο πλευρές της εξίσωσης κατά 50. Αυτό σας δίνει:
550/50 = (50_eκ_5) / 50, η οποία απλοποιεί:
11 = μι_k_5
Στη συνέχεια, πάρτε το φυσικό λογάριθμο και των δύο πλευρών, το οποίο σημειώνεται ως ln (Χ). Αυτό σας δίνει:
ln (11) = ln (μι_k_5)
Ο φυσικός λογάριθμος είναι η αντίστροφη συνάρτηση του μιΧ, έτσι ώστε να "απενεργοποιεί" αποτελεσματικά το μιΧ λειτουργεί στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, αφήνοντάς σας με:
ln (11) = _k_5
Στη συνέχεια, διαιρέστε τις δύο πλευρές κατά 5 για να απομονώσετε τη μεταβλητή, η οποία σας δίνει:
κ = ln (11) / 5
Τώρα γνωρίζετε τον ρυθμό εκθετικής ανάπτυξης για αυτόν τον πληθυσμό βακτηρίων: κ = ln (11) / 5. Εάν πρόκειται να κάνετε περαιτέρω υπολογισμούς με αυτόν τον πληθυσμό - για παράδειγμα, συνδέστε το ρυθμό ανάπτυξης στην εξίσωση και εκτιμήστε το μέγεθος του πληθυσμού σε t = 10 ώρες - το καλύτερο για να αφήσετε την απάντηση σε αυτή τη φόρμα. Αν όμως δεν πραγματοποιείτε περαιτέρω υπολογισμούς, μπορείτε να εισάγετε αυτήν την τιμή σε μια εκθετική αριθμητική λειτουργία - ή στον επιστημονικό υπολογιστή σας - για να έχετε μια εκτιμώμενη τιμή 0,479579. Ανάλογα με τις ακριβείς παραμέτρους του πειράματός σας, μπορείτε να το μετατρέψετε σε 0,48 / ώρα για ευκολία υπολογισμού ή συμβολισμού.