Πώς να υπολογίσετε το άθροισμα μιας γεωμετρικής σειράς

Περιεχόμενο

• Βρίσκοντας το n ο στοιχείο σε μια γεωμετρική σειρά
• Υπολογισμός του αθροίσματος μιας γεωμετρικής ακολουθίας

Στα μαθηματικά, μια ακολουθία είναι οποιαδήποτε σειρά από αριθμούς τοποθετημένους σε αυξανόμενη ή φθίνουσα σειρά. Μια ακολουθία γίνεται μια γεωμετρική ακολουθία όταν μπορείτε να αποκτήσετε κάθε αριθμό πολλαπλασιάζοντας τον προηγούμενο αριθμό με έναν κοινό παράγοντα. Για παράδειγμα, οι σειρές 1, 2, 4, 8, 16. . . είναι μια γεωμετρική ακολουθία με τον κοινό παράγοντα 2. Αν πολλαπλασιάσετε οποιοδήποτε αριθμό στη σειρά κατά 2, θα πάρετε τον επόμενο αριθμό. Αντίθετα, η ακολουθία 2, 3, 5, 8, 14, 22. . . δεν είναι γεωμετρική επειδή δεν υπάρχει κοινός παράγοντας μεταξύ των αριθμών. Μια γεωμετρική ακολουθία μπορεί να έχει ένα κλασματικό κοινό παράγοντα, οπότε κάθε διαδοχικός αριθμός είναι μικρότερος από αυτόν που προηγείται. 1, 1/2, 1/4, 1/8. . . είναι ένα παράδειγμα. Ο κοινός παράγοντας είναι 1/2.

Το γεγονός ότι μια γεωμετρική ακολουθία έχει έναν κοινό παράγοντα σας επιτρέπει να κάνετε δύο πράγματα. Το πρώτο είναι να υπολογίσουμε οποιοδήποτε τυχαίο στοιχείο στην ακολουθία (που οι μαθηματικοί θέλουν να καλέσουν το στοιχείο "n"), και το δεύτερο είναι να βρούμε το άθροισμα της γεωμετρικής ακολουθίας μέχρι το n-th στοιχείο. Όταν αθροίζετε την ακολουθία βάζοντας ένα σύμβολο συν μεταξύ κάθε ζεύγους όρων, γυρίστε την ακολουθία σε μια γεωμετρική σειρά.

Βρίσκοντας το n ο στοιχείο σε μια γεωμετρική σειρά

Γενικά, μπορείτε να αντιπροσωπεύσετε οποιαδήποτε γεωμετρική σειρά με τον ακόλουθο τρόπο:

α + ar + ar² + ar³ + ar⁴ . . .

όπου "a" είναι ο πρώτος όρος στη σειρά και "r" είναι ο κοινός παράγοντας. Για να ελέγξετε αυτό, σκεφτείτε τη σειρά στην οποία a = 1 και r = 2. Παίρνετε 1 + 2 + 4 + 8 + 16. . . δουλεύει!

Αφού καθιερώσαμε αυτό, είναι τώρα δυνατόν να αντλήσουμε μια φόρμουλα για τον n. Όρο στην ακολουθία (x_n).

Χ_n = ar^(η-1)

Ο εκθέτης είναι n - 1 αντί για n για να επιτρέψει τον πρώτο όρο στην ακολουθία να γράφεται ως ar⁰, το οποίο ισούται με "a".

Ελέγξτε αυτό με τον υπολογισμό του 4ου όρου στη σειρά παραδειγμάτων.

Χ₄ = (1) • 2³ = 8.

Υπολογισμός του αθροίσματος μιας γεωμετρικής ακολουθίας

Αν θέλετε να συνοψίσετε μια αποκλίνουσα ακολουθία, η οποία είναι μία με μια κοινή αναλογία μεγαλύτερη από 1 ή μικρότερη από -1, μπορείτε να το κάνετε μόνο μέχρι έναν πεπερασμένο αριθμό όρων. Είναι δυνατόν να υπολογίσουμε το άθροισμα μιας άπειρης σύγκλισης αλληλουχίας, ωστόσο, η οποία είναι μία με κοινή αναλογία μεταξύ 1 και -1.

Για να αναπτύξετε τη γεωμετρική φόρμουλα αθροίσματος, ξεκινήστε εξετάζοντας τι κάνετε. Ψάχνετε για το σύνολο των ακόλουθων σειρών προσθηκών:

α + ar + ar² + ar³ +. . . ar^(η-1)

Κάθε όρος στη σειρά είναι ar^κ, και k μεταβαίνει από 0 σε n-1. Ο τύπος για το άθροισμα της σειράς χρησιμοποιεί το σύμβολο sigma κεφαλαίου - Σ - που σημαίνει να προσθέσουμε όλους τους όρους από (k = 0) σε (k = n - 1).

Σαρ^κ = α

Για να ελεγχθεί αυτό, θεωρήστε το άθροισμα των πρώτων 4 όρων της γεωμετρικής σειράς ξεκινώντας από το 1 και έχοντας έναν κοινό παράγοντα 2. Στον ανωτέρω τύπο, a = 1, r = 2 και n = 4. Συνδέοντας αυτές τις τιμές, παίρνω:

1 • = 15

Αυτό είναι εύκολο να επαληθευτεί προσθέτοντας τους αριθμούς στην σειρά μόνοι σας. Στην πραγματικότητα, όταν χρειάζεστε το άθροισμα μιας γεωμετρικής σειράς, συνήθως είναι ευκολότερο να προσθέσετε τους αριθμούς μόνοι σας όταν υπάρχουν μόνο λίγοι όροι. Εάν η σειρά έχει έναν μεγάλο αριθμό όρων, ωστόσο, είναι πολύ πιο εύκολο να χρησιμοποιήσει τον τύπο του γεωμετρικού αθροίσματος.