Περιεχόμενο
Στα μαθηματικά, προκύπτει μερικές φορές η ανάγκη να αποδειχθεί εάν οι λειτουργίες εξαρτώνται ή είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους με γραμμική έννοια. Αν έχετε δύο λειτουργίες που εξαρτώνται γραμμικά, η γραφική παράσταση των εξισώσεων αυτών των λειτουργιών έχει ως αποτέλεσμα σημεία που αλληλεπικαλύπτονται. Οι λειτουργίες με ανεξάρτητες εξισώσεις δεν αλληλεπικαλύπτονται όταν υπάρχουν γραφικά. Μία μέθοδος για τον προσδιορισμό του εάν οι λειτουργίες εξαρτώνται ή είναι ανεξάρτητες είναι ο υπολογισμός του Wronskian για τις λειτουργίες.
Τι είναι το Wronskian;
Το Wronskian των δύο ή περισσοτέρων λειτουργιών είναι αυτό που είναι γνωστό ως καθοριστικός παράγοντας, που είναι μια ειδική λειτουργία που χρησιμοποιείται για να συγκρίνει τα μαθηματικά αντικείμενα και να αποδείξει ορισμένα γεγονότα γι 'αυτά. Στην περίπτωση του Wronskian, ο προσδιοριστής χρησιμοποιείται για να αποδείξει την εξάρτηση ή την ανεξαρτησία μεταξύ δύο ή περισσοτέρων γραμμικών λειτουργιών.
Το Wronskian Matrix
Για να υπολογίσουμε το Wronskian για γραμμικές λειτουργίες, οι λειτουργίες πρέπει να λυθούν για την ίδια τιμή εντός ενός πίνακα που περιέχει τόσο τις λειτουργίες όσο και τα παράγωγά τους. Ένα παράδειγμα αυτού είναι το W (f, g) (t) = | φάφά((tt)) σολσολ((tt)) |, η οποία παρέχει το Wronskian για δύο λειτουργίες (f και g) που λύνονται για μία μόνο τιμή η οποία είναι μεγαλύτερη από το μηδέν (t). μπορείτε να δείτε τις δύο λειτουργίες f (t) και g (t) στην πάνω σειρά της μήτρας και τα παράγωγα f (t) και g (t) στην κάτω σειρά. Σημειώστε ότι το Wronskian μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για μεγαλύτερα σετ. Αν, για παράδειγμα, δοκιμάσετε τρεις λειτουργίες με ένα Wronskian, τότε μπορείτε να συμπληρώσετε μια μήτρα με τις λειτουργίες και τα παράγωγα των f (t), g (t) και h (t).
Επίλυση του Wronskian
Μόλις έχετε τις λειτουργίες διατεταγμένες σε μια μήτρα, πολλαπλασιάστε κάθε συνάρτηση με το παράγωγο της άλλης συνάρτησης και αφαιρέστε την πρώτη τιμή από τη δεύτερη. Για το παραπάνω παράδειγμα, αυτό σας δίνει W (f, g) (t) = f (t) g (t) -g (t) f (t). Εάν η τελική απάντηση είναι μηδέν, αυτό δείχνει ότι οι δύο λειτουργίες εξαρτώνται. Αν η απάντηση είναι κάτι διαφορετικό από το μηδέν, οι λειτουργίες είναι ανεξάρτητες.
Wronskian Παράδειγμα
Για να σας δώσουμε μια καλύτερη ιδέα για το πώς αυτό λειτουργεί, υποθέστε ότι f (t) = x + 3 και g (t) = x - 2. Χρησιμοποιώντας μια τιμή t = 1, μπορείτε να λύσετε τις λειτουργίες ως f (1) 4 και g (1) = -1. Επειδή αυτές είναι βασικές γραμμικές λειτουργίες με κλίση 1, τα παράγωγα των δύο f (t) και g (t) είναι ίσα 1. Διασταυρούμενου πολλαπλασιασμού των τιμών σας δίδει στο W (f, g) (1) = (4 +1) - (-1 + 1), που παρέχει ένα τελικό αποτέλεσμα 5. Αν και οι γραμμικές λειτουργίες έχουν και την ίδια κλίση, είναι ανεξάρτητες επειδή τα σημεία τους δεν αλληλεπικαλύπτονται. Αν το f (t) είχε παραγάγει ένα αποτέλεσμα -1 αντί για 4, τότε ο Wronskian θα έδινε ένα αποτέλεσμα μηδέν αντί να υποδείξει εξάρτηση.