Περιεχόμενο
- Γιατί οι εκθετικές λειτουργίες είναι σημαντικές
- Από ένα ζεύγος σημείων σε ένα γράφημα
- Ένα σημείο στον άξονα Χ
- Ούτε το σημείο στον άξονα Χ
- Ένα παράδειγμα από τον πραγματικό κόσμο
Εάν γνωρίζετε δύο σημεία που εμπίπτουν σε μια συγκεκριμένη εκθετική καμπύλη, μπορείτε να ορίσετε την καμπύλη λύνοντας τη γενική εκθετική λειτουργία χρησιμοποιώντας αυτά τα σημεία. Στην πράξη, αυτό σημαίνει υποκατάσταση των σημείων y και x στην εξίσωση y = abΧ. Η διαδικασία είναι ευκολότερη εάν η τιμή x για ένα από τα σημεία είναι 0, πράγμα που σημαίνει ότι το σημείο βρίσκεται στον άξονα y. Εάν κανένα σημείο δεν έχει μηδενική τιμή x, η διαδικασία επίλυσης για το x και το y είναι μια πιο περίπλοκη διαδικασία.
Γιατί οι εκθετικές λειτουργίες είναι σημαντικές
Πολλά σημαντικά συστήματα ακολουθούν εκθετικά πρότυπα ανάπτυξης και αποσύνθεσης. Για παράδειγμα, ο αριθμός των βακτηρίων σε μια αποικία συνήθως αυξάνεται εκθετικά και η ατμοσφαιρική ακτινοβολία στην ατμόσφαιρα μετά από ένα πυρηνικό συμβάν συνήθως μειώνεται εκθετικά. Λαμβάνοντας δεδομένα και σχεδιάζοντας μια καμπύλη, οι επιστήμονες βρίσκονται σε καλύτερη θέση να κάνουν προβλέψεις.
Από ένα ζεύγος σημείων σε ένα γράφημα
Κάθε σημείο σε ένα δισδιάστατο γράφημα μπορεί να αναπαρασταθεί από δύο αριθμούς, οι οποίοι συνήθως γράφονται με τη μορφή (x, y), όπου το x ορίζει την οριζόντια απόσταση από την προέλευση και το y αντιπροσωπεύει την κατακόρυφη απόσταση. Για παράδειγμα, το σημείο (2, 3) είναι δύο μονάδες στα δεξιά του άξονα y και τρεις μονάδες πάνω από τον άξονα x. Από την άλλη πλευρά, το σημείο (-2, -3) είναι δύο μονάδες στα αριστερά του άξονα y. και τρεις μονάδες κάτω από τον άξονα x.
Αν έχετε δύο σημεία, (x1, γ1) και (χ2, γ2), μπορείτε να ορίσετε την εκθετική συνάρτηση που διέρχεται από αυτά τα σημεία αντικαθιστώντας τα με την εξίσωση y = abΧ και επίλυση για a και b. Γενικά, πρέπει να λύσετε αυτό το ζευγάρι εξισώσεων:
y1 = abx1 και γ2 = abx2, .
Σε αυτή τη μορφή, τα μαθηματικά φαίνονται λίγο περίπλοκα, αλλά φαίνεται λιγότερο, αφού έχετε κάνει μερικά παραδείγματα.
Ένα σημείο στον άξονα Χ
Αν μία από τις τιμές x - πούμε x1 - είναι 0, η λειτουργία γίνεται πολύ απλή. Για παράδειγμα, η επίλυση της εξίσωσης για τα σημεία (0, 2) και (2, 4) αποδίδει:
2 = ab0 και 4 = ab2. Δεδομένου ότι γνωρίζουμε ότι b0 = 1, η πρώτη εξίσωση γίνεται 2 = a. Αντικαθιστώντας ένα στην δεύτερη εξίσωση απόδοση 4 = 2b2, την οποία απλοποιούμε στο β2 = 2, ή b = τετραγωνική ρίζα 2, η οποία ισούται περίπου με 1,41. Η λειτουργία καθορισμού είναι τότε y = 2 (1.41)Χ.
Ούτε το σημείο στον άξονα Χ
Εάν καμία τιμή x δεν είναι μηδέν, η επίλυση του ζεύγους εξισώσεων είναι ελαφρώς δυσκίνητη. Η Henochmath μας περνά μέσα από ένα εύκολο παράδειγμα για να ξεκαθαρίσουμε αυτή τη διαδικασία. Στο παράδειγμά του επέλεξε το ζευγάρι των σημείων (2, 3) και (4, 27). Αυτό δίνει το ακόλουθο ζεύγος εξισώσεων:
27 = ab4
3 = ab2
Αν διαιρέσετε την πρώτη εξίσωση με το δεύτερο, παίρνετε
9 = β2
έτσι b = 3. Είναι δυνατόν να είναι ίσο και με το -3, αλλά στην περίπτωση αυτή, υποθέστε το θετικό του.
Μπορείτε να αντικαταστήσετε αυτήν την τιμή για το b σε οποιαδήποτε εξίσωση για να πάρετε ένα. Είναι πιο εύκολο στη χρήση της δεύτερης εξίσωσης, έτσι:
3 = α (3)2 που μπορεί να απλουστευθεί στο 3 = a9, a = 3/9 ή 1/3.
Η εξίσωση που περνά μέσα από αυτά τα σημεία μπορεί να γραφτεί ως y = 1/3 (3)Χ.
Ένα παράδειγμα από τον πραγματικό κόσμο
Από το 1910, ο ρυθμός αύξησης του ανθρώπινου πληθυσμού ήταν εκθετικός, και με την εκπόνηση μιας καμπύλης ανάπτυξης, οι επιστήμονες βρίσκονται σε καλύτερη θέση να προβλέψουν και να προγραμματίσουν το μέλλον. Το 1910, ο παγκόσμιος πληθυσμός ήταν 1,75 δισεκατομμύρια, και το 2010, ήταν 6,87 δισεκατομμύρια. Λαμβάνοντας το 1910 ως σημείο εκκίνησης, αυτό δίνει το ζεύγος των σημείων (0, 1.75) και (100, 6.87). Επειδή η τιμή x του πρώτου σημείου είναι μηδέν, μπορούμε εύκολα να βρούμε a.
1.75 = ab0 ή a = 1,75. Η προσθήκη αυτής της τιμής, μαζί με αυτές του δεύτερου σημείου, στη γενική εκθετική εξίσωση παράγει 6.87 = 1.75b100, η οποία δίνει την τιμή του b ως εκατοστή ρίζα των 6,87 / 1,75 ή 3,93. Έτσι η εξίσωση γίνεται γ = 1,75 (εκατοστή ρίζα 3,93)Χ. Παρόλο που χρειάζεται περισσότερος από έναν κανόνα διαφάνειας για να το κάνει, οι επιστήμονες μπορούν να χρησιμοποιήσουν αυτήν την εξίσωση για να σχεδιάσουν μελλοντικούς αριθμούς πληθυσμών για να βοηθήσουν τους πολιτικούς στο παρόν να δημιουργήσουν κατάλληλες πολιτικές.