Πώς να δημιουργήσετε πολυώνυμα συντελεστών με κλάσματα

Περιεχόμενο

• Πολυώνυμα με καθορισμένα κλάσματα
• Βασικά στοιχεία του factoring - Διανεμητική ιδιοκτησία και μέθοδος FOIL
• Τα βήματα που πρέπει να ακολουθήσετε όταν τα κλάσματα πολυωνυμικού παράγοντα
• Αξιολόγηση των εξισώσεων μέσω αποσύνθεσης μερικών κλασμάτων
• Απλοποιήστε τον παρονομαστή
• Αλλάξτε ξανά τον Αριθμοδότη

Ο καλύτερος τρόπος να παράγουν πολυώνυμα με κλάσματα αρχίζει με τη μείωση των κλασμάτων σε απλούστερους όρους. Τα πολυώνυμα αντιπροσωπεύουν αλγεβρικές εκφράσεις με δύο ή περισσότερους όρους, πιο συγκεκριμένα, το άθροισμα πολλών όρων που έχουν διαφορετικές εκφράσεις της ίδιας μεταβλητής. Οι στρατηγικές που βοηθούν στην απλοποίηση των πολυωνύμων περιλαμβάνουν την εξάσκηση του μεγαλύτερου κοινού παράγοντα, ακολουθούμενη από την ομαδοποίηση της εξίσωσης με τους χαμηλότερους όρους. Το ίδιο ισχύει και όταν επιλύουμε πολυώνυμα με κλάσματα.

Πολυώνυμα με καθορισμένα κλάσματα

Έχετε τρεις τρόπους για να δείτε τα πολυώνυμα φράσης με κλάσματα. Η πρώτη ερμηνεία αφορά πολυώνυμα με κλάσματα για συντελεστές. Στην άλγεβρα, ο συντελεστής ορίζεται ως η ποσότητα ή η σταθερά που βρέθηκαν πριν από μια μεταβλητή. Με άλλα λόγια, οι συντελεστές για τα 7a, b και (1/3) c είναι 7, 1 και (1/3) αντίστοιχα. Επομένως, δύο παραδείγματα πολυώνυμων με συντελεστές κλάσματος θα είναι:

(1/4) χ² + 6x + 20 καθώς και x² + (3/4) χ + (1/8).

Η δεύτερη ερμηνεία των "πολυωνύμων με κλάσματα" αναφέρεται σε πολυώνυμα που υπάρχουν σε μορφή κλάσματος ή αναλογίας με αριθμητή και παρονομαστή, όπου το πολυώνυμο αριθμητικής διαιρείται με το πολυώνυμο παρονομαστή. Για παράδειγμα, αυτή η δεύτερη ερμηνεία επεξηγείται από:

(Χ² + 7χ + 10) ÷ (x² + 11χ + 18)

Η τρίτη ερμηνεία, εν τω μεταξύ, αναφέρεται σε μερική αποσύνθεση κλάσματος, γνωστή και ως μερική επέκταση κλάσματος. Μερικές φορές, τα πολυώνυμα κλάσματα είναι πολύπλοκα, έτσι ώστε όταν "αποσυντίθενται" ή "διασπαστούν" σε απλούστερους όρους, παρουσιάζονται ως άθροισμα, διαφορές, προϊόντα ή κλάσματα των πολυωνυμικών κλασμάτων. Για να επεξηγήσουμε, το σύνθετο πολυωνυμικό κλάσμα των (8x + 7) ÷ (x² + x - 2) αξιολογείται με μερική αποσύνθεση του κλάσματος, η οποία, παρεμπιπτόντως, περιλαμβάνει factoring πολυωνύμων, να είναι + σε απλούστερη μορφή.

Βασικά στοιχεία του factoring - Διανεμητική ιδιοκτησία και μέθοδος FOIL

Οι παράγοντες αντιπροσωπεύουν δύο αριθμούς που όταν πολλαπλασιάζονται μαζί ισούνται με έναν τρίτο αριθμό. Σε αλγεβρικές εξισώσεις, ο συντελεστής καθορίζει ποιες δύο ποσότητες πολλαπλασιάστηκαν μαζί για να φθάσουν σε ένα δεδομένο πολυώνυμο. Η κατανεμητική ιδιότητα ακολουθείται έντονα όταν πολλαπλασιάζονται τα πολυώνυμα. Η διανεμητική ιδιότητα επιτρέπει κατ 'ουσίαν τον πολλαπλασιασμό ενός ποσού πολλαπλασιάζοντας κάθε αριθμό ξεχωριστά πριν από την προσθήκη των προϊόντων. Παρατηρήστε, για παράδειγμα, πώς εφαρμόζεται η διανεμητική ιδιότητα στο παράδειγμα:

7 (10x + 5) για να φθάσει στο διωνυμικό των 70x + 35.

Όμως, αν πολλαπλασιάζονται δύο δυαριθμικά, τότε χρησιμοποιείται εκτεταμένη έκδοση της διανεμητικής ιδιότητας μέσω της μεθόδου FOIL. Το FOIL αντιπροσωπεύει το ακρωνύμιο πολλαπλασιασμού των Πρώτων, Εξωτερικών, Εσωτερικών και Τελευταίων όρων. Επομένως, τα πολυώνυμα factoring συνεπάγονται την εκτέλεση της μεθόδου FOIL προς τα πίσω. Πάρτε τα δύο προαναφερθέντα παραδείγματα με τους συντελεστές κλάσματος που περιέχουν πολυώνυμα. Η εκτέλεση της μεθόδου FOIL προς τα πίσω σε κάθε μία από αυτές έχει ως αποτέλεσμα τους εξής παράγοντες:

((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10) για το πρώτο πολυώνυμο και τους παράγοντες:

(x + (1/4)) (x + (1/2)) για το δεύτερο πολυώνυμο.

Παράδειγμα: (1/4) x² + 6χ + 20 = ((1/2) χ + 2) ((1/2) χ + 10)

Παράδειγμα: x² + (3/4) χ + (1/8) = (χ + (1/4)) (χ + (1/2))

Τα βήματα που πρέπει να ακολουθήσετε όταν τα κλάσματα πολυωνυμικού παράγοντα

Από τα παραπάνω, τα πολυωνυμικά κλάσματα περιλαμβάνουν ένα πολυώνυμο στον αριθμητή διαιρούμενο με ένα πολυώνυμο στον παρονομαστή. Επομένως, η αξιολόγηση των πολυωνυμικών κλασμάτων απαιτεί την παραγοντοποίηση του αριθμητικού πολυωνύμου πρώτα ακολουθούμενου από την παραγοντοποίηση του παρονομαστή πολυωνύμου. Βοηθά να βρούμε τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα, ή GCF, μεταξύ του αριθμητή και του παρονομαστή. Μόλις εντοπιστεί το GCF τόσο του αριθμητή όσο και του παρονομαστή, ακυρώνεται, μειώνοντας τελικά ολόκληρη την εξίσωση σε απλουστευμένους όρους. Εξετάστε το αρχικό παράδειγμα κλάσματος πολυώνυμο παραπάνω από

(Χ² + 7χ + 10) ÷ (x²+ 11χ + 18).

Ο παράγοντας του αριθμητή και των παρονομαστών πολυώνυμα για να βρείτε το GCF έχει ως αποτέλεσμα:

÷, με το GCF να είναι (x + 2).

Το GCF τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή ακυρώνεται ο ένας στον άλλο για να δώσει την τελική απάντηση στους χαμηλότερους όρους (x + 5) ÷ (x + 9).

Παράδειγμα:

Χ² + 7χ + 10 (χ + 2)(χ + 5) (χ + 5)

__ = ___ = __

Χ²+ 11χ + 18 (χ + 2)(χ + 9) (χ + 9)

Αξιολόγηση των εξισώσεων μέσω αποσύνθεσης μερικών κλασμάτων

Η μερική αποσύνθεση κλάσματος, η οποία περιλαμβάνει factoring, είναι ένας τρόπος επανεγγραφής σύνθετων εξισώσεων πολυωνυμικού κλάσματος σε απλούστερη μορφή. Επανεξέταση του παραπάνω παραδείγματος

(8x + 7) ÷ (x² + χ - 2).

Απλοποιήστε τον παρονομαστή

Απλοποιήστε τον παρονομαστή για να πάρετε: (8x + 7) ÷.

8x + 7 8x + 7

__ = __

Χ² + χ - 2 (χ + 2) (χ - 1)

Αλλάξτε ξανά τον Αριθμοδότη

Στη συνέχεια, αναδιοργανώστε τον αριθμητή έτσι ώστε να αρχίζει να υπάρχει τα GCF που υπάρχουν στον παρονομαστή, για να πάρετε:

(3x + 5x - 3 + 10) ÷, που επεκτείνεται περαιτέρω στα {(3x - 3) ÷} + {(5x + 10) ÷}.

8x + 7 3χ + 5χ - 3 + 10 3χ - 3 5χ + 10

____ = ___ = ______ +

(χ + 1) (χ + 2) (χ - 1) (χ + 2) (χ -

Για το αριστερό addend, το GCF είναι (x - 1), ενώ για το σωστό addend, το GCF είναι (x + 2), το οποίο ακυρώνεται στον αριθμητή και τον παρονομαστή, όπως φαίνεται στο {+}.

3x - 3 5x + 10 3(χ - 1) 5(χ + 2)

___ + __ = ___ +

(χ + 2) (χ - 1) (χ + 2) (χ - 1) (χ + 2)(χ - 1) (χ + 2)(χ - 1)

Έτσι, όταν ακυρώνονται τα GCF, η τελική απλοποιημένη απάντηση είναι +:

3 5

__ + __ ως λύση της αποσύνθεσης του μερικού κλάσματος.

x + 2χ-1