Περιεχόμενο
- Το πρόβλημα μαθηματικού σούπερ μπολ
- Εύρεση λύσης (ο αργός τρόπος)
- Η Αλγεβρική Λύση
- Το πρόβλημα McNugget κοτόπουλου
Με το Super Bowl ακριβώς πίσω από τη γωνία, οι αθλητές και οι οπαδοί του κόσμου έχουν την εστίασή τους σταθερά σταθερά στο μεγάλο παιχνίδι. Αλλά για τα _math_letes, το μεγάλο παιχνίδι μπορεί να σας φέρει στο μυαλό ένα μικρό πρόβλημα σχετικά με τις πιθανές βαθμολογίες σε ένα παιχνίδι ποδοσφαίρου. Με μόνο περιορισμένες επιλογές για το ποσό των πόντων που μπορείτε να κερδίσετε, κάποια συνολικά απλά δεν μπορούν να επιτευχθούν, αλλά ποιο είναι το υψηλότερο; Εάν θέλετε να μάθετε τι συνδέει τα νομίσματα, το ποδόσφαιρο και τα μακαρόνια κοτόπουλου McDonald's, αυτό είναι ένα πρόβλημα για σας.
Το πρόβλημα μαθηματικού σούπερ μπολ
Το πρόβλημα περιλαμβάνει τις πιθανές βαθμολογίες που θα μπορούσαν ενδεχομένως να επιτευχθούν την Κυριακή είτε από το Λος Άντζελες είτε από τους Πατριώτες της Νέας Αγγλίας χωρίς μια ασφάλεια ή μια μετατροπή δύο σημείων. Με άλλα λόγια, οι επιτρεπόμενοι τρόποι για να αυξήσουν τα αποτελέσματά τους είναι στόχοι 3 σημείων και 7 πόντους. Έτσι, χωρίς ασφάλεια, δεν μπορείτε να επιτύχετε ένα σκορ 2 πόντων σε ένα παιχνίδι με οποιονδήποτε συνδυασμό των 3s και 7s. Ομοίως, δεν μπορείτε να επιτύχετε βαθμολογία 4 ούτε μπορείτε να βαθμολογήσετε 5.
Η ερώτηση είναι: Ποιο είναι το υψηλότερο σκορ αυτό κλίση να επιτευχθούν με μόνο 3-σημείο στόχους τομέα και 7-σημείο touchdowns;
Φυσικά, τα touchdowns χωρίς μετατροπή αξίζουν 6, αλλά δεδομένου ότι μπορείτε να φτάσετε σε αυτό με δύο στόχους πεδίου ούτως ή άλλως, δεν έχει σημασία για το πρόβλημα. Επίσης, δεδομένου ότι έχουμε να κάνουμε με τα μαθηματικά εδώ, δεν χρειάζεται να ανησυχείτε για τις τακτικές της συγκεκριμένης ομάδας ή ακόμα και όρια για την ικανότητά τους να κερδίζουν πόντους.
Προσπαθήστε να λύσετε τον εαυτό σας πριν προχωρήσετε!
Εύρεση λύσης (ο αργός τρόπος)
Αυτό το πρόβλημα έχει μερικές σύνθετες μαθηματικές λύσεις (βλ. Πόρων για πλήρεις λεπτομέρειες, αλλά το κύριο αποτέλεσμα θα εισαχθεί παρακάτω), αλλά είναι ένα καλό παράδειγμα του πώς αυτό δεν είναι απαιτείται για να βρείτε την απάντηση.
Το μόνο που έχετε να κάνετε για να βρείτε μια λύση βίαιης δύναμης είναι να δοκιμάσετε απλά κάθε ένα από τα αποτελέσματα με τη σειρά του. Γνωρίζουμε λοιπόν ότι δεν μπορείτε να σκοράρετε 1 ή 2, επειδή είναι λιγότερο από 3. Έχουμε ήδη διαπιστώσει ότι τα 4 και 5 δεν είναι δυνατά, αλλά το 6 είναι, με δύο στόχους. Μετά από 7 (το οποίο είναι δυνατό), μπορείτε να σκοράρετε 8; Οχι. Τρία γκολ πεδίου δίνουν 9, και ένας στόχος πεδίου και ένα μετατρεπόμενο touchdown κάνει 10. Αλλά δεν μπορείτε να πάρετε 11.
Από εκεί και πέρα, μια μικρή δουλειά δείχνει ότι:
begin {ευθυγραμμισμένο} 3 × 4 & = 12 7 + (3 × 2) & = 13 7 × 2 & = 14 3 × 5 & = 15 16 (7 × 2) + 3 & = 17 τέλος {ευθυγραμμισμένο}Και στην πραγματικότητα, μπορείτε να συνεχίσετε έτσι όπως θέλετε. Η απάντηση φαίνεται να είναι 11. Αλλά είναι;
Η Αλγεβρική Λύση
Οι μαθηματικοί ονομάζουν αυτά τα προβλήματα "προβλήματα νομίσματος Frobenius". Η αρχική μορφή που σχετίζεται με νομίσματα, όπως: Αν είχατε μόνο νομίσματα αξίας 4 σεντ και 11 σεντς (όχι αληθινά νομίσματα, αλλά πάλι, αυτό είναι μαθηματικά προβλήματα για σας), ποια είναι η μεγαλύτερη ποσό χρημάτων που δεν θα μπορούσατε να παράγετε.
Η λύση, από την άποψη της άλγεβρας, είναι ότι με ένα σκορ αξίζει Π σημεία και ένα σκορ που αξίζει q σημεία, το υψηλότερο σκορ που δεν μπορείτε να πάρετε (Ν) δίνεται από:
N = pq - (p + q)Έτσι συνδέοντας τις τιμές από το πρόβλημα Super Bowl δίνει:
begin {ευθυγραμμισμένο} N & = 3 × 7 - (3 + 7) & = 21 - - ; 10 & = 11 end {ευθυγραμμισμένο}Ποια είναι η απάντηση που πήραμε τον αργό δρόμο. Έτσι τι θα μπορούσατε να κερδίσετε μόνο τα touchdowns χωρίς μετατροπή (6 βαθμοί) και touchdowns με μετατροπές ενός σημείου (7 βαθμοί); Δείτε αν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για να το επεξεργαστείτε πριν διαβάσετε.
Στην περίπτωση αυτή, ο τύπος γίνεται:
begin {ευθυγραμμισμένο} N & = 6 × 7 - (6 + 7) & = 42 - - ; 13 & = 29 end {ευθυγραμμισμένο}Το πρόβλημα McNugget κοτόπουλου
Έτσι το παιχνίδι τελείωσε και θέλετε να ανταμείψετε τη νικήτρια ομάδα με ένα ταξίδι στο McDonalds. Αλλά πωλούν μόνο McNuggets σε κουτιά των 9 ή 20. Έτσι ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός nuggets σας κλίση αγοράστε με αυτούς τους (ξεπερασμένους) αριθμούς πλαισίων; Δοκιμάστε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για να βρείτε την απάντηση πριν από την ανάγνωση.
Από
N = pq - (p + q)Και με Π = 9 και q = 20:
begin {ευθυγραμμισμένο} N & = 9 × 20 ; - (9 + 20) & = 180 - - ; 29 & = 151 end {ευθυγραμμισμένο}Με την προϋπόθεση ότι αγοράζετε περισσότερα από 151 nuggets - η νικήτρια ομάδα θα είναι πιθανώς αρκετά πεινασμένη, τελικά, θα μπορούσατε να αγοράσετε οποιοδήποτε αριθμό ψιλοκομμάτων που θέλετε με κάποιο συνδυασμό κουτιών.
Μπορεί να αναρωτιέστε γιατί έχουμε καλύψει μόνο δύο εκδόσεις αυτού του προβλήματος. Τι θα συμβεί αν ενσωματωθεί η ασφάλεια ή εάν η McDonalds πουλήσει τρία μεγέθη κουτιών ψαριών; Υπάρχει δεν υπάρχει σαφής τύπος σε αυτήν την περίπτωση, και ενώ οι περισσότερες εκδοχές της μπορούν να λυθούν, ορισμένες πτυχές της ερώτησης είναι εντελώς ανεπίλυτες.
Έτσι, ίσως όταν παρακολουθείτε το παιχνίδι ή τρώτε κομμάτια δαγκώματος κοτόπουλου, μπορείτε να ισχυριστείτε ότι προσπαθείτε να λύσετε ένα ανοιχτό πρόβλημα στα μαθηματικά - αξίζει να προσπαθήσετε να βγείτε από τις δουλειές!