Περιεχόμενο
Μια διωνυμική κατανομή περιγράφει μια μεταβλητή Χ εάν 1) υπάρχει ένας σταθερός αριθμός n παρατηρήσεις της μεταβλητής. 2) όλες οι παρατηρήσεις είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. 3) την πιθανότητα επιτυχίας Π είναι το ίδιο για κάθε παρατήρηση. και 4) κάθε παρατήρηση αντιπροσωπεύει ένα από ακριβώς δύο πιθανά αποτελέσματα (εξ ου και η λέξη "διωνυμική" - σκέφτεται "δυαδική"). Αυτό το τελευταίο προσόν διακρίνει τις διωνυμικές κατανομές από τις κατανομές Poisson, οι οποίες διαφέρουν συνεχώς και όχι διακριτικά.
Μια τέτοια κατανομή μπορεί να γραφεί B (n, p).
Υπολογισμός της πιθανότητας μιας δεδομένης παρατήρησης
Πείτε μια τιμή k που βρίσκεται κάπου στο διάγραμμα της διωνυμικής κατανομής, η οποία είναι συμμετρική ως προς το μέσο όρο np. Για να υπολογίσει την πιθανότητα ότι μια παρατήρηση θα έχει αυτή την τιμή, αυτή η εξίσωση πρέπει να λυθεί:
Ρ (Χ = Κ) = (η: κ) ρκ(1-ρ)(η-κ)
όπου (n: k) = (n!) ÷ (k!) (n - k)!
Ο "!" σημαίνει μια συντελεστή παράγοντα, π.χ. 27! = 27 χ 26 χ 25 χ ... χ 3 χ 2 χ 1.
Παράδειγμα
Πείτε ότι ένας παίκτης μπάσκετ παίρνει 24 ελεύθερες βολές και έχει σταθερό ποσοστό επιτυχίας 75% (p = 0,75). Ποιες είναι οι πιθανότητες ότι θα χτυπήσει ακριβώς 20 από τα 24 σουτ;
Αρχικά υπολογίστε (n: k) ως εξής:
(n!) ÷ (k!) (n-k)! = 24! ÷ (20!) (4!) = 10,626
Πκ = (0.75)20 = 0.00317
(1-ρ) (η-κ) = (0.25)4 = 0.00390
Έτσι P (20) = (10,626) (0,00317) (0,00390) = 0,1314.
Αυτός ο παίκτης έχει, συνεπώς, 13,1% πιθανότητα να κάνει ακριβώς 20 από τις 24 ελεύθερες βολές, ανάλογα με το τι μπορεί να φανταστεί η διαίσθηση για έναν παίκτη που θα χτυπήσει συνήθως 18 από τις 24 ελεύθερες βολές (λόγω του επιτυχούς ρυθμού επιτυχίας του 75%).