Περιεχόμενο
- Επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων με υποκατάσταση
- Συμβουλές
- Επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων με εξάλειψη
- Επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων με γραφήματα
Η επίλυση ενός συστήματος ταυτόχρονων εξισώσεων φαίνεται σαν ένα πολύ δύσκολο έργο στην αρχή. Με περισσότερες από μία άγνωστες ποσότητες για να βρεθεί η τιμή και, προφανώς, πολύ μικρός τρόπος για να αποκολληθεί μια μεταβλητή από την άλλη, μπορεί να είναι ένας πονοκέφαλος για ανθρώπους νέους στην άλγεβρα. Ωστόσο, υπάρχουν τρεις διαφορετικές μέθοδοι για την εξεύρεση λύσης στην εξίσωση, με δύο εξαρτώνται περισσότερο από την άλγεβρα και είναι λίγο πιο αξιόπιστες, και η άλλη μετατρέποντας το σύστημα σε μια σειρά γραμμών σε ένα γράφημα.
Επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων με υποκατάσταση
Επιλύστε ένα σύστημα ταυτόχρονων εξισώσεων με υποκατάσταση εκφράζοντας πρώτα μία μεταβλητή από την άποψη του άλλου. Χρησιμοποιώντας αυτές τις εξισώσεις ως παράδειγμα:
Χ – y = 5
3_x_ + 2_y_ = 5
Αναδιοργανώστε την απλούστερη εξίσωση για να εργαστείτε και χρησιμοποιήστε την για να εισαγάγετε στη δεύτερη. Στην περίπτωση αυτή, προσθέτοντας y και στις δύο πλευρές της πρώτης εξίσωσης δίνει:
Χ = y + 5
Χρησιμοποιήστε την έκφραση για Χ στη δεύτερη εξίσωση για να παράγει μια εξίσωση με μία μόνο μεταβλητή. Στο παράδειγμα, αυτό κάνει τη δεύτερη εξίσωση:
3 × (y + 5) + 2_y_ = 5
3_y_ + 15 + 2_y_ = 5
Συλλέξτε τους παρόμοιους όρους για να πάρετε:
5_y_ + 15 = 5
Αναδιοργάνωση και επίλυση για y, ξεκινώντας από την αφαίρεση 15 από τις δύο πλευρές:
5_y_ = 5-15 = -10
Ο διαχωρισμός των δύο πλευρών κατά 5 δίνει:
y = −10 ÷ 5 = −2
Έτσι y = −2.
Εισάγετε αυτό το αποτέλεσμα σε οποιαδήποτε εξίσωση για επίλυση για την υπόλοιπη μεταβλητή. Στο τέλος του βήματος 1, διαπιστώσατε ότι:
Χ = y + 5
Χρησιμοποιήστε την τιμή για την οποία βρήκατε y να πάρω:
Χ = −2 + 5 = 3
Έτσι Χ = 3 και y = −2.
Συμβουλές
Επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων με εξάλειψη
Κοιτάξτε τις εξισώσεις σας για να βρείτε μια μεταβλητή που θα καταργήσετε:
Χ – y = 5
3_x_ + 2_y_ = 5
Στο παράδειγμα, μπορείτε να δείτε ότι μια εξίσωση έχει -y και το άλλο έχει + 2_y_. Εάν προσθέσετε δύο φορές την πρώτη εξίσωση στο δεύτερο, η y οι όροι θα ακυρωθούν και y θα εξαλειφθούν. Σε άλλες περιπτώσεις (π.χ., αν θέλετε να εξαλείψετε Χ), μπορείτε επίσης να αφαιρέσετε ένα πολλαπλάσιο μιας εξίσωσης από το άλλο.
Πολλαπλασιάστε την πρώτη εξίσωση με δύο για να την προετοιμάσετε για τη μέθοδο εξάλειψης:
2 × (Χ – y) = 2 × 5
Έτσι
2_x_ - 2_y_ = 10
Εξαλείψτε την επιλεγμένη μεταβλητή προσθέτοντας ή αφαιρώντας μια εξίσωση από την άλλη. Στο παράδειγμα, προσθέστε τη νέα έκδοση της πρώτης εξίσωσης στη δεύτερη εξίσωση για να πάρετε:
3_x_ + 2_y_ + (2_x_ - 2_y_) = 5 + 10
3_x_ + 2_x_ + 2_y_ - 2_y_ = 15
Αυτό σημαίνει:
5_x_ = 15
Λύστε για την υπόλοιπη μεταβλητή. Στο παράδειγμα, διαιρέστε και τις δύο πλευρές κατά 5 για να πάρετε:
Χ = 15 ÷ 5 = 3
Οπως και πριν.
Όπως και στην προηγούμενη προσέγγιση, όταν έχετε μια μεταβλητή, μπορείτε να την εισάγετε σε οποιαδήποτε έκφραση και να οργανώσετε ξανά τη δεύτερη. Χρησιμοποιώντας τη δεύτερη εξίσωση:
3_x_ + 2_y_ = 5
Από τότε Χ = 3:
3 × 3 + 2_y_ = 5
9 + 2_y_ = 5
Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές για να πάρετε:
2_y_ = 5 - 9 = -4
Τέλος, διαιρέστε με δύο για να πάρετε:
y = −4 ÷ 2 = −2
Επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων με γραφήματα
Λύστε συστήματα εξισώσεων με ελάχιστη άλγεβρα, γράφοντας κάθε εξίσωση και αναζητώντας το Χ και y τιμή όπου τέμνονται οι γραμμές. Μετατρέψτε κάθε εξίσωση σε μορφή ανάσχεσης κλίσης (y = mx + σι) πρώτα.
Η πρώτη εξίσωση είναι:
Χ – y = 5
Αυτό μπορεί εύκολα να μετατραπεί. Προσθέτω y και στις δύο πλευρές και στη συνέχεια αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές για να πάρετε:
y = Χ – 5
Το οποίο έχει κλίση Μ = 1 και α y-σύμφωνα με το σι = −5.
Η δεύτερη εξίσωση είναι:
3_x_ + 2_y_ = 5
Αφαιρέστε 3_x_ από τις δύο πλευρές για να πάρετε:
2_y_ = -3_x_ + 5
Στη συνέχεια διαιρέστε με 2 για να πάρετε τη μορφή ανάσχεσης κλίσης:
y = -3_x_ / 2 + 5/2
Έτσι έχει μια κλίση Μ = -3/2 και α y-σύμφωνα με το σι = 5/2.
Χρησιμοποιήστε το y τιμές παρεμπόδισης και τις κλίσεις για να σχεδιάσετε και τις δύο γραμμές σε ένα γράφημα. Η πρώτη εξίσωση διασχίζει το y άξονα σε y = -5, και το y η τιμή αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά Χ η τιμή αυξάνεται κατά 1. Αυτό κάνει την γραμμή εύκολη στην κλήρωση.
Η δεύτερη εξίσωση διασχίζει το y άξονα σε 5/2 = 2,5. Είναι πλαγιά προς τα κάτω, και το y η τιμή μειώνεται κατά 1,5 κάθε φορά Χ η τιμή αυξάνεται κατά 1. Μπορείτε να υπολογίσετε την τιμή y τιμή για οποιοδήποτε σημείο στο Χ χρησιμοποιώντας την εξίσωση εάν είναι ευκολότερη.
Εντοπίστε το σημείο όπου τέμνονται οι γραμμές. Αυτό σας δίνει και τα δύο Χ και y συντεταγμένες της λύσης στο σύστημα εξισώσεων.