Αν έπρεπε να πάρετε ένα τετράγωνο και να σχεδιάσετε δύο διαγώνιες γραμμές, θα περάσουν στο κέντρο και θα σχηματίσουν τέσσερα δεξιά τρίγωνα. Οι δύο διαγώνιοι διασταυρώνονται σε 90 μοίρες. Ίσως να φανταστείτε ότι δύο διαγωνίσεις ενός κύβου, κάθε ένα από το οποίο έτρεξε από τη μια γωνία του κύβου στην αντίθετη γωνία του και διασχίζοντας στο κέντρο, θα διασχίζονταν επίσης σε ορθές γωνίες. Θα λάθος. Ο προσδιορισμός της γωνίας με την οποία δύο διαγωνίσεις σε ένα κύβο διασταυρώνονται μεταξύ τους είναι λίγο πιο περίπλοκη από ό, τι μπορεί να φαίνεται με την πρώτη ματιά, αλλά κάνει μεγάλη πρακτική για την κατανόηση των αρχών της γεωμετρίας και τριγωνομετρίας.
Καθορίστε το μήκος ενός άκρου ως μία μονάδα. Εξ ορισμού, κάθε άκρη στον κύβο έχει το ίδιο μήκος μιας μονάδας.
Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να καθορίσετε το μήκος μιας διαγωνίου που τρέχει από τη μία γωνία έως την αντίθετη γωνία στην ίδια όψη. Καλέστε αυτό μια "σύντομη διαγώνιο" για λόγους σαφήνειας. Κάθε πλευρά του δεξιού τριγώνου που σχηματίζεται είναι μία μονάδα, οπότε η διαγώνιος πρέπει να είναι ίση με √2.
Χρησιμοποιήστε το θεώρημα Pythagorean για να καθορίσετε το μήκος μιας διαγωνίου που τρέχει από τη μια γωνία στην αντίθετη γωνία της αντίθετης όψης. Ονομάστε μια "μεγάλη διαγώνιο". Έχετε ένα σωστό τρίγωνο με τη μία πλευρά ίση με 1 μονάδα και μία πλευρά ίση με μια "μικρή διαγώνιο", √2 μονάδες. Το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών, οπότε η υποτείνουσα πρέπει να είναι √3. Κάθε διαγώνιος που εκτείνεται από τη μια γωνία του κύβου στην αντίθετη γωνία είναι √ 3 μονάδων.
Σχεδιάστε ένα ορθογώνιο για να αντιπροσωπεύσετε δύο μεγάλες διαγώνιες που διασχίζουν στο κέντρο του κύβου. Θέλετε να βρείτε τη γωνία της τομής τους. Αυτό το ορθογώνιο θα είναι 1 μονάδα ψηλό και √ 2 μονάδες πλάτος. Οι μακριές διαγώνιες διασταυρώνονται μεταξύ τους στο κέντρο αυτού του ορθογωνίου και σχηματίζουν δύο διαφορετικούς τύπους τριγώνου. Ένα από αυτά τα τρίγωνα έχει μία πλευρά ίση με μία μονάδα και οι άλλες δύο πλευρές ίση με √3 / 2 (το ήμισυ του μήκους μιας μακράς διαγώνιας). Το άλλο έχει επίσης δύο πλευρές ίσες με √3 / 2 αλλά η άλλη πλευρά είναι ίση με √2. Απλά πρέπει να αναλύσετε ένα από τα τρίγωνα, οπότε πάρετε το πρώτο και λύστε για την άγνωστη γωνία.
Χρησιμοποιήστε τον τριγωνομετρικό τύπο c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos C για να λύσετε την άγνωστη γωνία αυτού του τριγώνου. C = 1, και τα δύο a και b είναι ίσα με √3 / 2. Συνδέοντας αυτές τις τιμές στην εξίσωση, θα καθορίσετε ότι το συνημίτονο της άγνωστης σας γωνίας είναι 1/3. Λαμβάνοντας το αντίστροφο συνημίτονο του 1/3 δίνει γωνία 70,5 μοίρες.