Περιεχόμενο
- Παραγγελίες και Παράγοντες
- Μετατροπές με επανάληψη
- Μετατροπές χωρίς επανάληψη
- Συνδυασμοί χωρίς επανάληψη
- Συνδυασμοί με επανάληψη
Ας υποθέσουμε ότι έχετε n τύπους αντικειμένων και θέλετε να επιλέξετε μια συλλογή από r. Μπορεί να θέλουμε αυτά τα στοιχεία με κάποια συγκεκριμένη σειρά. Καλούμε αυτά τα σύνολα αντικειμένων. Εάν η σειρά δεν έχει σημασία, καλούμε το σύνολο συνδυασμών συλλογών. Και για τους δύο συνδυασμούς και τις μεταβολές, μπορείτε να εξετάσετε την περίπτωση στην οποία επιλέγετε μερικούς από τους τύπους n περισσότερες από μία φορές, που καλείται με επανάληψη, ή την περίπτωση στην οποία επιλέγετε κάθε τύπο μόνο μία φορά, η οποία δεν καλείται επανάληψη. Ο στόχος είναι να είναι σε θέση να μετρήσει τον αριθμό συνδυασμών ή μεταλλαγών που είναι δυνατόν σε μια δεδομένη κατάσταση.
Παραγγελίες και Παράγοντες
Η παραγοντική συνάρτηση χρησιμοποιείται συχνά κατά τον υπολογισμό συνδυασμών και παραλλαγών. Ν. σημαίνει N × (N-1) × ... × 2 × 1. Για παράδειγμα, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Ο αριθμός των τρόπων παραγγελίας ενός συνόλου αντικειμένων είναι ένας συντελεστής. Πάρτε τα τρία γράμματα a, b και c. Έχετε τρεις επιλογές για το πρώτο γράμμα, δύο για το δεύτερο και μόνο για το τρίτο. Με άλλα λόγια, συνολικά 3 × 2 × 1 = 6 παραγγελίες. Σε γενικές γραμμές, υπάρχουν n! τρόποι παραγγελίας n στοιχείων.
Μετατροπές με επανάληψη
Ας υποθέσουμε ότι έχετε τρία δωμάτια που πρόκειται να βάψετε και το καθένα θα ζωγραφιστεί σε ένα από τα πέντε χρώματα: κόκκινο (r), πράσινο (g), μπλε (β), κίτρινο (γ) ή πορτοκαλί (o). Μπορείτε να επιλέξετε κάθε χρώμα όσες φορές θέλετε. Έχετε πέντε χρώματα για να επιλέξετε από το πρώτο δωμάτιο, πέντε για το δεύτερο και πέντε για το τρίτο. Αυτό δίνει συνολικά 5 × 5 × 5 = 125 δυνατότητες. Σε γενικές γραμμές, ο αριθμός των τρόπων επιλογής μιας ομάδας στοιχείων r σε μια συγκεκριμένη σειρά από n επαναλήψιμες επιλογές είναι n ^ r.
Μετατροπές χωρίς επανάληψη
Τώρα υποθέστε ότι κάθε δωμάτιο πρόκειται να είναι διαφορετικό χρώμα. Μπορείτε να διαλέξετε από πέντε χρώματα για το πρώτο δωμάτιο, τέσσερα για το δεύτερο και μόνο τρία για το τρίτο. Αυτό δίνει 5 × 4 × 3 = 60, που απλά συμβαίνει να είναι 5! / 2 !. Γενικά, ο αριθμός ανεξάρτητων τρόπων επιλογής στοιχείων r σε μια συγκεκριμένη σειρά από n μη επαναλαμβανόμενες επιλογές είναι n! / (N-r) !.
Συνδυασμοί χωρίς επανάληψη
Στη συνέχεια, ξεχάστε ποιο δωμάτιο είναι το χρώμα. Απλά επιλέξτε τρία ανεξάρτητα χρώματα για το συνδυασμό χρωμάτων. Η σειρά δεν έχει σημασία εδώ, έτσι (κόκκινο, πράσινο, μπλε) είναι το ίδιο με (κόκκινο, μπλε, πράσινο). Για οποιαδήποτε επιλογή τριών χρωμάτων υπάρχουν 3! τρόπους που μπορείτε να τους παραγγείλετε. Έτσι μειώνετε τον αριθμό των μεταβολών κατά 3! για να πάρουμε 5! / (2! × 3!) = 10. Σε γενικές γραμμές, μπορείτε να επιλέξετε μια ομάδα στοιχείων r σε οποιαδήποτε σειρά από μια επιλογή n μη επαναλαμβανόμενων επιλογών σε n! / τρόπους.
Συνδυασμοί με επανάληψη
Τέλος, πρέπει να δημιουργήσετε ένα συνδυασμό χρωμάτων στο οποίο μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιοδήποτε χρώμα όσες φορές θέλετε. Ένας έξυπνος κώδικας λογιστικής βοηθά αυτό το έργο καταμέτρησης. Χρησιμοποιήστε τρία X για να απεικονίσετε τα δωμάτια. Η λίστα χρωμάτων σας αντιπροσωπεύεται από το rgbyo. Ανακατέψτε το Xs στη λίστα χρωμάτων σας και συσχετίστε κάθε X με το πρώτο χρώμα στα αριστερά του. Για παράδειγμα, το rgXXbyXo σημαίνει ότι το πρώτο δωμάτιο είναι πράσινο, το δεύτερο είναι πράσινο και το τρίτο είναι κίτρινο. Ένα X πρέπει να έχει τουλάχιστον ένα χρώμα προς τα αριστερά, οπότε υπάρχουν πέντε διαθέσιμες θέσεις για το πρώτο X. Επειδή η λίστα περιλαμβάνει πλέον ένα X, υπάρχουν έξι διαθέσιμες θέσεις για το δεύτερο Χ και επτά διαθέσιμες θέσεις για το τρίτο Χ. όλα, υπάρχουν 5 × 6 × 7 = 7! / 4! τρόπους για να γράψετε τον κώδικα. Ωστόσο, η σειρά των δωματίων είναι αυθαίρετη, οπότε υπάρχουν πραγματικά μόνο 7! / (4! × 3!) Μοναδικές ρυθμίσεις. Σε γενικές γραμμές, μπορείτε να επιλέξετε r στοιχεία σε οποιαδήποτε σειρά από n επαναλήψιμες επιλογές σε (n + r-1)! / Τρόποι.