Περιεχόμενο
Τα ποσοστά της αλλαγής εμφανίζονται παντού στην επιστήμη και ιδιαίτερα στη φυσική μέσω ποσοτήτων όπως η ταχύτητα και η επιτάχυνση. Τα παράγωγα περιγράφουν την ταχύτητα αλλαγής μίας ποσότητας σε σχέση με μια άλλη μαθηματικά, αλλά ο υπολογισμός τους μπορεί να είναι περίπλοκος μερικές φορές και μπορεί να παρουσιαστεί με γράφημα και όχι με συνάρτηση σε μορφή εξίσωσης. Εάν παρουσιάσετε ένα γράφημα μιας καμπύλης και πρέπει να βρείτε το παράγωγο από αυτήν, ίσως να μην μπορείτε να είστε τόσο ακριβείς όσο με μια εξίσωση, αλλά μπορείτε εύκολα να κάνετε μια σταθερή εκτίμηση.
TL · DR (Πολύ μακρύ;
Επιλέξτε ένα σημείο στο γράφημα για να βρείτε την τιμή του παραγώγου στο.
Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή εφαπτομένη στην καμπύλη του γραφήματος σε αυτό το σημείο.
Πάρτε την κλίση αυτής της γραμμής για να βρείτε την αξία του παραγώγου στο επιλεγμένο σημείο στο γράφημα.
Τι είναι ένα Παράγωγο;
Εκτός από το αφηρημένο πλαίσιο της διαφοροποίησης μιας εξίσωσης, ίσως να είστε λίγο συγκεχυμένος σχετικά με το τι είναι πραγματικά ένα παράγωγο. Στην άλγεβρα, ένα παράγωγο μιας συνάρτησης είναι μια εξίσωση που σας λέει την αξία της "κλίσης" της λειτουργίας σε οποιοδήποτε σημείο. Με άλλα λόγια, σας λέει πόσο μια αλλαγή ποσότητας δίνεται μια μικρή αλλαγή στο άλλο. Σε μια γραφική παράσταση, η κλίση ή η κλίση της γραμμής σας δείχνει πόση εξαρτάται η μεταβλητή που εξαρτάται (τοποθετείται στο y-axis) αλλάζει με την ανεξάρτητη μεταβλητή (στο Χ-άξονας).
Για γραφήματα ευθείας γραμμής, καθορίζετε τον (σταθερό) ρυθμό μεταβολής υπολογίζοντας την κλίση του γραφήματος. Οι σχέσεις που περιγράφονται από τις καμπύλες δεν είναι τόσο εύκολο να αντιμετωπιστούν, αλλά η αρχή ότι το παράγωγο σημαίνει μόνο την κλίση (σε αυτό το συγκεκριμένο σημείο) εξακολουθεί να ισχύει.
Για σχέσεις που περιγράφονται από καμπύλες, το παράγωγο παίρνει διαφορετική τιμή σε κάθε σημείο κατά μήκος της καμπύλης. Για να υπολογίσετε το παράγωγο του γραφήματος, πρέπει να επιλέξετε ένα σημείο για να πάρετε το παράγωγο στο. Για παράδειγμα, εάν έχετε ένα γράφημα που δείχνει την απόσταση που διανύθηκε με το χρόνο, σε ένα γραμμικό γράφημα, η κλίση θα σας έδειχνε τη σταθερή ταχύτητα. Για τις ταχύτητες που αλλάζουν με το χρόνο, το γράφημα θα είναι μια καμπύλη, αλλά μια ευθεία που αγγίζει την καμπύλη σε ένα σημείο (μια γραμμή εφαπτόμενη στην καμπύλη) αντιπροσωπεύει το ρυθμό αλλαγής στο συγκεκριμένο σημείο.
Επιλέξτε ένα σημείο στο οποίο πρέπει να γνωρίζετε το παράγωγο στο. Χρησιμοποιώντας την απόσταση που διανύθηκε σε σχέση με το χρόνο, επιλέξτε την ώρα που θέλετε να γνωρίζετε την ταχύτητα ταξιδιού. Αν πρέπει να γνωρίζετε την ταχύτητα σε διάφορα σημεία, μπορείτε να πραγματοποιήσετε αυτήν τη διαδικασία για κάθε μεμονωμένο σημείο. Εάν θέλετε να γνωρίζετε την ταχύτητα 15 δευτερόλεπτα μετά την εκκίνηση της κίνησης, επιλέξτε το σημείο της καμπύλης στα 15 δευτερόλεπτα Χ-άξονας.
Σχεδιάστε μια γραμμή εφαπτόμενη στην καμπύλη στο σημείο που σας ενδιαφέρει. Πάρτε το χρόνο σας όταν το κάνετε αυτό, επειδή είναι το πιο σημαντικό και πιο δύσκολο μέρος της διαδικασίας. Η εκτίμησή σας θα είναι καλύτερη αν σχεδιάσετε μια ακριβέστερη εφαπτομένη γραμμή. Κρατήστε ένα χάρακα μέχρι το σημείο της καμπύλης και ρυθμίστε τον προσανατολισμό του, έτσι ώστε η γραμμή που θα σχεδιάσετε θα μόνο αγγίξτε την καμπύλη στο σημείο που σας ενδιαφέρει.
Σχεδιάστε τη γραμμή σας όσο το επιτρέπει το γράφημα. Βεβαιωθείτε ότι μπορείτε να διαβάσετε εύκολα δύο τιμές και για το Χ και y συντεταγμένες, μία κοντά στην αρχή της γραμμής σας και μία κοντά στο τέλος. Δεν χρειάζεται απολύτως να σχεδιάσετε μια μακρά γραμμή (τεχνικά, οποιαδήποτε ευθεία γραμμή είναι κατάλληλη), αλλά οι μακρύτερες γραμμές τείνουν να είναι ευκολότερες στη μέτρηση της κλίσης του.
Εντοπίστε δύο θέσεις στη γραμμή σας και σημειώστε το Χ και y συντονίζει γι 'αυτούς. Για παράδειγμα, φανταστείτε την εφαπτόμενη γραμμή ως δύο αξιοσημείωτα σημεία Χ = 1, y = 3 και Χ = 10, y = 30, το οποίο μπορείτε να καλέσετε το σημείο 1 και το σημείο 2. Χρησιμοποιώντας τα σύμβολα Χ1 και y1 να αντιπροσωπεύει τις συντεταγμένες του πρώτου σημείου και Χ2 και y2 για να αντιπροσωπεύει τις συντεταγμένες του δεύτερου σημείου, της κλίσης Μ δίνεται από:
Μ = (y2 - γ1) ÷ (Χ2 – Χ1)
Αυτό σας λέει το παράγωγο της καμπύλης στο σημείο όπου η γραμμή αγγίζει την καμπύλη. Στο παράδειγμα, Χ1 = 1, Χ2 = 10, y1 = 3 και y2 = 30, έτσι:
Μ = (30 – 3) ÷ (10 – 1)
= 27 ÷ 9
= 3
Στο παράδειγμα, αυτό το αποτέλεσμα θα ήταν η ταχύτητα στο επιλεγμένο σημείο. Έτσι αν το Χ- η μέση μετρήθηκε σε δευτερόλεπτα και η τιμή y- η ακρίβεια μετρήθηκε σε μέτρα, το αποτέλεσμα θα σήμαινε ότι το εν λόγω όχημα ταξίδευε στα 3 μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Ανεξάρτητα από τη συγκεκριμένη ποσότητα που υπολογίζετε, η διαδικασία εκτίμησης του παραγώγου είναι η ίδια.