Πώς να υπολογίσετε τις τροχιές

Περιεχόμενο

• Οι κινηματικές εξισώσεις
• Παραδείγματα κίνησης βλήματος
• Υπολογισμοί τροχιάς

Πρόκληση κίνησης προβολέων αναφέρεται στην κίνηση ενός σωματιδίου που μεταδίδεται με μια αρχική ταχύτητα αλλά στη συνέχεια δεν υπόκειται σε άλλες δυνάμεις εκτός εκείνης της βαρύτητας.

Αυτό περιλαμβάνει προβλήματα στα οποία ένα σωματίδιο εκτοξεύεται σε μια γωνία μεταξύ 0 και 90 μοίρες προς την οριζόντια, με το οριζόντιο συνήθως να είναι το έδαφος. Για λόγους ευκολίας, αυτά τα βλήματα υποτίθεται ότι ταξιδεύουν στο (x, y) αεροπλάνο, με Χ που αντιπροσωπεύουν οριζόντια μετατόπιση και y κατακόρυφη μετατόπιση.

Το μονοπάτι που παίρνει ένα βλήμα αναφέρεται ως το δικό του τροχιά. (Σημειώστε ότι ο κοινός σύνδεσμος στο "βλήμα" και η "τροχιά" είναι η συλλαβή "-το αντικείμενο", η λατινική λέξη για "ρίψη". Για να εξαφανίσετε κάποιον κυριολεκτικά πρέπει να τον πετάξετε.) Το σημείο προέλευσης του βλήματος σε προβλήματα στην οποία πρέπει να υπολογίσετε την τροχιά, συνήθως θεωρείται ότι είναι (0, 0) για λόγους απλότητας, εκτός εάν δηλώνεται διαφορετικά.

Η τροχιά ενός βλήματος είναι μια παραβολή (ή τουλάχιστον ίχνη ενός τμήματος μιας παραβολής) εάν το σωματίδιο εκτοξεύεται κατά τέτοιο τρόπο ώστε να έχει μη οριζόντιο συστατικό οριζόντιας κίνησης και δεν υπάρχει αντίσταση αέρα να επηρεάζει το σωματίδιο.

Οι κινηματικές εξισώσεις

Οι μεταβλητές ενδιαφέροντος για την κίνηση ενός σωματιδίου είναι οι συντεταγμένες θέσης του Χ και y, την ταχύτητά του v, και την επιτάχυνση του ένα, όλα σε σχέση με ένα δεδομένο παρελθόν χρόνο t από την αρχή του προβλήματος (όταν το σωματίδιο εκτοξεύεται ή απελευθερώνεται). Σημειώστε ότι η παράλειψη μάζας (m) συνεπάγεται ότι η βαρύτητα στη Γη ενεργεί ανεξάρτητα από αυτήν την ποσότητα.

Σημειώστε επίσης ότι αυτές οι εξισώσεις αγνοούν τον ρόλο της αντίστασης του αέρα, που δημιουργεί μια δύναμη οπισθέλκουσας που αντιτίθεται στην κίνηση σε πραγματικές καταστάσεις της Γης. Αυτός ο παράγοντας εισάγεται σε μαθήματα μηχανικής υψηλού επιπέδου.

Οι μεταβλητές που δίδονται σε ένα δείκτη "0" αναφέρονται στην αξία αυτής της ποσότητας στο χρόνο t = 0 και είναι σταθερές. συχνά, αυτή η τιμή είναι 0 χάρη στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων και η εξίσωση γίνεται πολύ απλούστερη. Η επιτάχυνση αντιμετωπίζεται ως σταθερή σε αυτά τα προβλήματα (και είναι στην y-κατεύθυνση και ίση με -σολ, ή -9,8 m / s², η επιτάχυνση λόγω βαρύτητας κοντά στη γη επιφάνεια).

Οριζόντια κίνηση:

x = x₀ + v_Χ t

Κάθετη κίνηση:

Παραδείγματα κίνησης βλήματος

Το κλειδί για την επίλυση προβλημάτων που περιλαμβάνουν υπολογισμούς τροχιάς είναι η γνώση ότι τα οριζόντια (x) και κάθετα (y) συστατικά της κίνησης μπορούν να αναλυθούν ξεχωριστά, όπως φαίνεται παραπάνω, και οι αντίστοιχες συνεισφορές τους στη συνολική κίνηση συνοπτικά αθροίζονται στο τέλος το πρόβλημα.

Τα προβλήματα κίνησης των προβολέων θεωρούνται ως προβλήματα ελεύθερης πτώσης επειδή, ανεξάρτητα από το πώς φαίνονται τα πράγματα αμέσως μετά το χρόνο t = 0, η μόνη δύναμη που ασκείται στο κινούμενο αντικείμενο είναι η βαρύτητα.

Υπολογισμοί τροχιάς

1. Οι ταχύτερες στάμνες στο μπέιζμπολ μπορούν να ρίξουν μια μπάλα σε λίγο πάνω από 100 μίλια την ώρα, ή 45 m / s. Εάν μια μπάλα ρίχνεται κάθετα προς τα πάνω σε αυτή την ταχύτητα, πόσο ψηλά θα πάρει και πόσο καιρό θα πάρει για να επιστρέψει στο σημείο στο οποίο απελευθερώθηκε;

Εδώ v_y0 = 45 m / s, -σολ = -9,8 m / s, και οι ποσότητες ενδιαφέροντος είναι το τελικό ύψος, ή y, και το συνολικό χρόνο πίσω στη Γη. Ο συνολικός χρόνος είναι ένας υπολογισμός δύο μερών: ο χρόνος μέχρι το y και ο χρόνος πίσω στο y₀ = 0. Για το πρώτο μέρος του προβλήματος, v_y, όταν η σφαίρα φτάσει στο ύψος κορυφής της, είναι 0.

Ξεκινήστε χρησιμοποιώντας την εξίσωση v_y² = v_0y² - 2g (y - y₀) και συνδέοντας τις τιμές που έχετε:

0 = (45)² - (2) (9.8) (γ - 0) = 2.025 - 19.6γ

y = 103,3 m

Η εξίσωση v_y = v_0y - gt δείχνει ότι ο χρόνος t που λαμβάνεται είναι (45 / 9,8) = 4,6 δευτερόλεπτα. Για να έχετε συνολικό χρόνο, προσθέστε αυτήν την τιμή στο χρόνο που χρειάζεται για να πέσει η μπάλα ελεύθερα στο σημείο εκκίνησής της. Αυτό δίνεται από y = y₀ + v_0yt - (1/2) gt² , όπου τώρα, επειδή η μπάλα είναι ακόμα στην στιγμή που αρχίζει να πέφτει, v_0y = 0.

Επίλυση (103.3) = (1/2) gt² για το t δίνει t = 4,59 δευτερόλεπτα.

Ο συνολικός χρόνος είναι 4.59 + 4.59 = 9.18 δευτερόλεπτα. Το ίσως εκπληκτικό αποτέλεσμα ότι κάθε «πόδι» του ταξιδιού, πάνω και κάτω, τον ίδιο χρόνο υπογραμμίζει το γεγονός ότι η βαρύτητα είναι η μοναδική δύναμη στο παιχνίδι εδώ.

2. Η εξίσωση εύρους: Όταν ένα βλήμα εκτοξεύεται με ταχύτητα v₀ και μια γωνία θ από την οριζόντια, έχει αρχικά οριζόντια και κάθετα συστατικά της ταχύτητας v_0x = v₀(cos θ) και v_0y = v₀(sin θ).

Επειδή v_y = v_0y - gt, και v_y = 0 όταν το βλήμα φτάσει στο μέγιστο ύψος του, ο χρόνος στο μέγιστο ύψος δίνεται από το t = v_0y/σολ. Λόγω της συμμετρίας, ο χρόνος που θα χρειαστεί για να επιστρέψει στο έδαφος (ή y = y₀) είναι απλά 2t = 2v_0y/σολ.

Τέλος, συνδυάζοντας αυτές με τη σχέση x = v_0xt, η οριζόντια απόσταση που διανύθηκε με δεδομένη γωνία εκτόξευσης θ είναι

R (εύρος) = 2 (v₀²sin θ ⋅ cos θ / g) = v₀²(sin2θ) / g

(Το τελικό βήμα προέρχεται από την τριγωνομετρική ταυτότητα 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)

Δεδομένου ότι το sin2θ έχει τη μέγιστη τιμή του 1 όταν θ = 45 μοίρες, χρησιμοποιώντας αυτή τη γωνία μεγιστοποιεί την οριζόντια απόσταση για μια δεδομένη ταχύτητα στο

R = v₀²/σολ.