Πώς να υπολογίσετε το νόμο του Sines

Περιεχόμενο

• Επαναφορά του νόμου του Sines
• Βρίσκοντας μια έλλειψη γωνίας με το νόμο του Sines
• Προειδοποιήσεις
• Βρίσκοντας μια πλευρά με το νόμο του Sines

Το "Sine" είναι συντομογραφία για το λόγο των δύο πλευρών ενός δεξιού τριγώνου, που εκφράζεται ως κλάσμα: Η πλευρά απέναντι από οποιαδήποτε γωνία μετράτε είναι ο αριθμητής του κλάσματος και η υποτείνουσα του ορθού τριγώνου είναι ο παρονομαστής. Μόλις καταφέρετε να μάθετε αυτήν την ιδέα, γίνεται δομικό στοιχείο για μια φόρμουλα γνωστή ως νόμος των sines, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρει τις γωνίες και τις πλευρές που λείπουν για ένα τρίγωνο όσο γνωρίζετε τουλάχιστον δύο από τις γωνίες της και μία πλευρά ή δύο πλευρές και μία γωνία.

Επαναφορά του νόμου του Sines

Ο νόμος των sines σας λέει ότι ο λόγος μιας γωνίας σε ένα τρίγωνο προς την αντίθετη πλευρά θα είναι ο ίδιος και για τις τρεις γωνίες ενός τριγώνου. Ή, για να το θέσω με άλλο τρόπο:

αμαρτία (Α) /ένα = sin (Β) /σι = sin (C) /ντο, όπου A, B και C είναι οι γωνίες του τριγώνου, και α, β και ντο είναι τα μήκη των πλευρών απέναντι από αυτές τις γωνίες.

Αυτή η φόρμα είναι η πιο χρήσιμη για την εύρεση των γωνιών που λείπουν. Αν χρησιμοποιείτε το νόμο των ιπποειδών για να βρείτε το μήκος που λείπει από μια πλευρά του τριγώνου, μπορείτε επίσης να το γράψετε με το sines στον παρονομαστή:

ένα/ sin (Α) = σι/ αμαρτία (Β) = ντο/ αμαρτία (C)

Βρίσκοντας μια έλλειψη γωνίας με το νόμο του Sines

Φανταστείτε ότι έχετε ένα τρίγωνο με μια γνωστή γωνία - αφήνει να πούμε ότι η γωνία Α μετρά 30 μοίρες. Γνωρίζετε επίσης το μέτρο των δύο πλευρών του τριγώνου: πλευρά ένα, η οποία είναι αντίθετη γωνία Α, μετρά 4 μονάδες, και πλευρά σι μέτρα 6 μονάδες.

Εισάγετε όλες τις γνωστές πληροφορίες στην πρώτη μορφή του νόμου των sines, το οποίο είναι καλύτερο για την εύρεση των λωρίδων που λείπουν:

(30) / 4 = sin (Β) / 6 = sin (C) /ντο

Στη συνέχεια, επιλέξτε έναν στόχο. σε αυτή την περίπτωση, βρείτε το μέτρο της γωνίας Β.

Η ρύθμιση του προβλήματος είναι τόσο απλή όσο ο καθορισμός της πρώτης και της δεύτερης έκφρασης αυτής της εξίσωσης ισότιμης μεταξύ τους. Δεν χρειάζεται να ανησυχείτε για τον τρίτο όρο τώρα. Έτσι, έχετε:

sin (30) / 4 = sin (Β) / 6

Χρησιμοποιήστε μια αριθμομηχανή ή ένα γράφημα για να βρείτε το ημίτονο της γνωστής γωνίας. Σε αυτή την περίπτωση, η αμαρτία (30) = 0,5, έτσι έχετε:

(0.5) / 4 = sin (B) / 6, η οποία απλοποιεί:

0.125 = sin (Β) / 6

Πολλαπλασιάστε κάθε πλευρά της εξίσωσης με 6 για να απομονώσετε την ημιτονοειδή μέτρηση της άγνωστης γωνίας. Αυτό σας δίνει:

0.75 = sin (Β)

Βρείτε το αντίστροφο ημίτονο ή arcsine της άγνωστης γωνίας, χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή σας ή ένα τραπέζι. Σε αυτή την περίπτωση, το αντίστροφο ημίτονο 0,75 είναι περίπου 48,6 μοίρες.




Προειδοποιήσεις

Βρίσκοντας μια πλευρά με το νόμο του Sines

Φανταστείτε ότι έχετε ένα τρίγωνο με γνωστές γωνίες των 15 και 30 βαθμών (αφήστε τους να τους καλέσετε Α και Β αντίστοιχα) και το μήκος της πλευράς ένα, η οποία είναι αντίθετη από τη γωνία Α, έχει μήκος 3 μονάδων.

Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, οι τρεις γωνίες ενός τριγώνου προστίθενται πάντα μέχρι 180 μοίρες. Έτσι αν γνωρίζετε ήδη δύο γωνίες, μπορείτε να βρείτε το μέτρο της τρίτης γωνίας αφαιρώντας τις γνωστές γωνίες από 180:

180 - 15 - 30 = 135 μοίρες

Έτσι η γωνία που λείπει είναι 135 μοίρες.

Συμπληρώστε τις πληροφορίες που γνωρίζετε ήδη στο νόμο του τύπου sines, χρησιμοποιώντας τη δεύτερη φόρμα (η οποία είναι ευκολότερη κατά τον υπολογισμό μιας ελλείπουσας πλευράς):

3 / sin (15) = σι/ αμαρτία (30) = ντο/ αμαρτία (135)

Επιλέξτε ποια ελλείπουσα πλευρά θέλετε να βρείτε τη διάρκεια της. Σε αυτή την περίπτωση, για λόγους ευκολίας, βρείτε το μήκος της πλευράς σι.

Για να ρυθμίσετε το πρόβλημα, επιλέγετε δύο από τις σχέσεις ημιτονοειδούς που δίνονται στο νόμο του sines: Το ένα που περιέχει τον στόχο σας (πλευρά σι) και εκείνο που γνωρίζετε ήδη όλες τις πληροφορίες για (αυτή την πλευρά ένα και γωνία Α). Ρυθμίστε τις δύο αυτές σχέσεις ημιτονοειδείς μεταξύ τους:

3 / sin (15) = σι/ αμαρτία (30)

Τώρα επίλυση για σι. Ξεκινήστε με τη χρήση της αριθμομηχανής σας ή ενός πίνακα για να βρείτε τις τιμές της αμαρτίας (15) και της αμαρτίας (30) και τις γεμίστε στην εξίσωσή σας (για χάρη αυτού του παραδείγματος χρησιμοποιήστε το κλάσμα 1/2 αντί 0,5) :

3/0.2588 = σι/(1/2)

Σημειώστε ότι ο δάσκαλός σας θα σας πει πόσο μακριά (και εάν) να ολοκληρώσετε τις τιμές sine. Μπορούν επίσης να σας ζητήσουν να χρησιμοποιήσετε την ακριβή τιμή της συνάρτησης ημιτονοειδούς, η οποία στην περίπτωση της αμαρτίας (15) είναι η πολύ ακατάστατη (√6 - √2) / 4.

Στη συνέχεια, απλοποιήστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, θυμηθείτε ότι η διαίρεση από ένα κλάσμα είναι η ίδια με την πολλαπλασιασμό από το αντίστροφο:

11.5920 = 2_b_

Αλλάξτε τις πλευρές της εξίσωσης για λόγους ευκολίας, καθώς οι μεταβλητές συνήθως αναφέρονται στα αριστερά:

2_b_ = 11.5920

Και τελικά, ολοκληρώστε την επίλυση σι. Στην περίπτωση αυτή, το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να διαιρέσετε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης κατά 2, που σας δίνει:

σι = 5.7960

Έτσι η χαμένη πλευρά του τριγώνου σας είναι 5.7960 μονάδων. Θα μπορούσατε εύκολα να χρησιμοποιήσετε την ίδια διαδικασία για να λύσετε την πλευρά ντο, ορίζοντας τον όρο του στο νόμο του sines ίσο με τον όρο για την πλευρά ένα, δεδομένου ότι γνωρίζετε ήδη ότι οι πλευρές είναι πλήρεις πληροφορίες.